1. Le coordinate di un punto su un piano Le coordinate di un punto su un piano 2. La lunghezza e il punto medio di un segmento La lunghezza e il punto medio di un segmento 3. L’equazione di una retta L’equazione di una retta 4. Le rette parallele e le rette perpendicolari Le rette parallele e le rette perpendicolari 5. La distanza di un punto da una retta La distanza di un punto da una retta 6. I fasci di rette I fasci di rette

1. Le coordinate di un punto su un piano Il piano cartesiano è formato da due rette perpendicolari e orientate che si incontrano in un punto O chiamato “origine”. La retta orizzontale è chiamata asse delle ascisse (asse x); La retta verticale è chiamata asse delle ordinate (asse y). O asse delle ascisse x y asse delle ordinate

Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti. Le coordinate possono essere positive o negative a seconda del quadrante in cui si trovano i punti. Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali (x,y). O I Quadrante x y II Quadrante III QuadranteIV Quadrante

2. La lunghezza e il punto medio di un segmento Come determinare la distanza AB tra i punti. se il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse allora: AB = |x B – x A | O x y A B A’ (x A ) yAyA y A = y B B’ (x B ) ESERCIZIO: Clicca QUI per visualizzare il grafico:QUI A(1, 2) ; B(5, 2) AB = |5 −1| = 4

se il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate AB = |y B – y A | O x y A A” (y A ) x A = x B B” (x B ) B ESERCIZIO: Clicca QUI per visualizzare il grafico:QUI A(3, 1) ; B(3, 7) AB = |7 −1| = 6

Dati nel piano cartesiano due punti A(x A, y A ) e B(x B, y B ), la misura del segmento AB è data dalla formula: O x y A B C xAxA xBxB yAyA yByB ESERCIZIO: Clicca QUI per visualizzare il grafico:QUI A = (2,2) B = (7,4)

Coordinate del punto medio M Come determinare le coordinate del punto medio M di un segmento AB sapendo che A(x A ;y A ) e B(x B ; y B ): X M = Y M = O x y A A” (y A ) B” (x B ) B M M” (y M ) A’ (x A ) M’ (x M )B’ (x B ) ESERCIZIO: Clicca QUI per visualizzare il grafico:QUI Dati A(-2;4) e B(4; -2) determinare le coordinate del punto medio del segmento di estremi AB. X C = C = (1 ; 1) Y C =

3. L’equazione di una retta La geometria analitica combina la geometria con l’algebra, nel senso che alla figura geometrica viene associata una equazione che la rappresenta. Il luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una certa proprietà. Considerando la bisettrice dell’angolo, essa è un luogo geometrico, perché le distanze da un punto della bisettrice ai lati dell’angolo sono uguali.

Le rette sono rappresentabili mediante equazioni che contengono informazioni dai punti che appartengono alla retta stessa. Una retta parallela all’asse delle ascisse avrà equazione: k (costante) varia a seconda della sequenza di punti

Una retta che contiene punti che hanno la stessa ascissa ha equazione: dove “k” rappresenta l’ascissa costante di tutti i suoi punti.

La retta passa per l’origine, quando il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di tutti i suoi punti è costante m (coefficiente angolare) indica l’inclinazione della retta sull’asse x (direzione positiva)

Se m>0 l’angolo formato dalla retta con l’asse delle x è acuto.

Se m<0 l’angolo formato dalla retta con l’asse delle x è ottuso.

La forma ax + by + c = 0 è detta forma implicita della retta ed é quella che rappresenta tutte le rette del piano. Per rappresentare graficamente una retta occorre riportare l’equazione in forma esplicita. La forma y = mx + q è detta forma esplicita dell’equazione di una retta e rappresenta tutte le rette del piano tranne quella parallela all'asse y. Si può dimostrare che l’equazione generica di una retta non parallela all’asse y è del tipo: y=mx+q, m è il coefficiente angolare. Il coefficiente angolare si può ricavare anche se sono noti due punti ad es. A(x A ;y A ) e B(x B ;y B ), allora il coefficiente angolare m della retta AB è espresso dalla formula. Se una retta è parallela all’asse y, si ha x 1 = x 2 quindi m non esiste. Il coefficiente q rappresenta il punto di intersezione della retta con l’asse delle y e viene detto ordinata all’origine. Se q=0 allora la funzione lineare ha come equazione y=mx, che è l’equazione di una retta passante per l’origine O(0,0).

L’equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto. Se una retta, non parallela all’asse y, passa per un punto P(x 0, y 0 ), le coordinate del punto devono soddisfare l’equazione. ESERCIZIO: La retta passante per A(2, −9) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione: in forma esplicita in forma implicita

La retta passante per due punti Date le coordinate di due punti A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) del piano cartesiano, si può ricavare l’equazione della retta passante per essi con la formula: ESERCIZIO: La retta passante per A(1, −3) e B(3, −2) ha equazione: Calcolando si ottiene

4. Le rette parallele e le rette perpendicolari Condizioni di parallellismo e di perpendicolarità Due rette sono parallele solo se hanno lo stesso coefficiente angolare m=m’ (Clicca QUI per visualizzare un esercizio)QUI Due rette sono perpendicolari se e solo se m = Quindi solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguali a -1: mm’ = -1 (Clicca QUI per visualizzare un esercizio)QUI

La posizione reciproca di due rette Per studiare la posizione reciproca di due rette si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Si possono presentare i seguenti casi: Rette incidenti nel punto P Sistema determinato Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato

5. La distanza di un punto da una retta La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Se P ha coordinate (x 0, y 0 ) e ax + by + c = 0 è l’equazione della retta r in forma implicita, è possibile calcolare tale distanza, d,con la formula: ESERCIZIO: Clicca QUI per visualizzare il graficoQUI P(3;5)

6. I fasci di rette Fascio improprio: insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data. L’equazione di questo fascio ha un coefficiente angolare fisso e un’ordinata all’origine variabile. ESERCIZIO: Il fascio di rette parallele a quella di equazione 5x+2y-1=0 ha equazione: 5x+2y+k=0 Al variare di k le rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare.

Fascio proprio: insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato. P(x;y) : centro del fascio Equazione del fascio: ESERCIZIO: Equazione del fascio proprio di centro P (2,-3)

ESERCIZIO (LA DISTANZA FRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO) Se i due punti A e B hanno la stessa ordinata y A =y B allora: A = (1,2) B = (5,2)

ESERCIZIO (LA DISTANZA FRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO) Se i due punti A e B hanno la stessa ascissa x A =x B allora: A = (3,1) B = (3,7)

ESERCIZIO (LA DISTANZA FRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO) Se i due punti A e B non hanno né la stessa ascissa né la stessa ordinata, allora A = (2,2) B = (7,4)

ESERCIZIO (IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO) Dati A (-2 ;4) e B (4 ; -2) determinare le coordinate del punto medio del segmento di estremi AB.

Rette parallele Le rette parallele hanno coefficienti angolari uguali

Rette perpendicolari Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari discordi con valori assoluti uno l’inverso dell’altro.

ESERCIZIO (LA DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA) Determina la distanza del punto P (3;5) dalla retta di equazione x+2y-6=0

FINE RICCHIUTI SALVATORE 3^AA