Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo

Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Gli argomenti di questa lezione sono: â La funzione di trasferimento di un sistema continuo nel dominio del tempo F(t) La funzione di trasferimento di un sistema continuo nel dominio del tempo F(t) â Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â I segnali di ingresso nel dominio della frequenza I segnali di ingresso nel dominio della frequenza

Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Ed ancora in questa lezione: â La risposta di un sistema nel dominio della frequenza La risposta di un sistema nel dominio della frequenza â La risposta nel dominio del tempo con l’antitrasformata di Laplace La risposta nel dominio del tempo con l’antitrasformata di Laplace

La funzione di trasferimento di un sistema continuo nel dominio del tempo F(t) â Com’è noto, un sistema è solitamente rappresentato con un blocco (come in basso) â L’evoluzione nel tempo di un sistema continuo è spesso descritta da equazioni matematiche â Molto spesso tali equazioni sono di tipo differenziale o integro-differenziale â Il loro trattamento è generalmente complicato Sistema i1i1 i2i2 i3i3 i4i4 i5i5 u1u1 u3u3 u5u5

i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i 5 (t) i 4 (t) u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) La funzione di trasferimento di un sistema continuo nel dominio del tempo F(t) â Il complesso delle equazioni matematiche che definiscono il comportamento del sistema nel tempo è detto funzione di trasferimento F(t) F(t)

i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i 5 (t) i 4 (t) u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) â Il sistema incide sulle variabili di ingresso mediante il complesso di equazioni che ne definiscono la funzione di trasferimento e così facendo determina l’andamento temporale delle sue uscite La funzione di trasferimento di un sistema continuo nel dominio del tempo F(t) F(t) F(t) â Alle variazioni nel tempo delle grandezze di ingresso conseguono variazioni nel tempo delle grandezze in uscita

Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â Quando un sistema è di tipo lineare e senza memoria (di ordine zero), la funzione di trasferimento prende la forma matematica di un sistema lineare di equazioni â Lo strumento per la risoluzione di questi sistemi è dunque, per es., quello noto del calcolo matriciale â Se gli ingressi di un tale sistema variassero nel tempo, ovviamente varierebbero nel tempo anche le uscite â Anche in presenza di questa “complicazione”, l’uso di un buon programma di calcolo, consentirebbe abbastanza facilmente di prevedere l’evoluzione nel tempo delle uscite

Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â Spesso, invece, i sistemi sono di ordine superiore e la loro F(t) diventa un “oggetto” molto complicato F(t) â La determinazione dell’andamento nel tempo delle uscite richiederebbe delle conoscenze matematiche che vanno al di là di quelle possedute dalla maggior parte degli allievi delle scuole superiori

Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â Anche i mezzi di calcolo più evoluti, in casi di particolare complessità, potrebbero richiedere tempi di elaborazione molto lunghi F(t)

Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â Si può allora usare un trucco â Il “trucco” consiste in un operatore matematico noto come trasformata di Laplace o laplaciano â Questo operatore consente di trasformare delle equazioni differenziali in normali equazioni algebriche in una variabile complessa s â Una volta risolto il problema di calcolare u(s)=i(s)F(s) per conoscere u(t) è sufficiente operare una antitrasformazione di Laplace

Quali strumenti per l’analisi di un sistema continuo â La logica di tale serie di operazioni è questa u(t) F(t) i(s) u(s) = i(s)F(s) F(s) i(t) trasformazione di Laplace antitrasformazione di Laplace

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â Si è già detto che la variabile s è una variabile complessa  La variabile complessa s è uguale all’espressione generica  + j  che è composta da una parte reale  e da una parte immaginaria j   In particolare quest’ultima parte contiene, come si vede, la pulsazione  che, com’è noto, è pari a 2  f â Questo chiarisce il perché con il passaggio mediante le trasformazioni di Laplace si dice che andiamo ad operare nel dominio della frequenza

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â Sebbene esista un modo per effettuare, mediante operazioni matematiche di una certa complessità, la trasformazione e l’antitrasformazione di Laplace, non è necessario operare realmente in tal modo â Quindi, qui non verrà data la definizione matematica di laplaciano, che è lasciata all’approfondimento di chi fosse interessato â Invece, le operazioni di trasformazione (e di antitrasformazione) di Laplace si effettuano mediante la consultazione di apposite tabelle

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â Le tabelle per la trasformazione (e l’antitrasfor- mazione) di Laplace sono contenute su molti libri di testo â Tabelle ampie ed esaurienti sono contenute sia nel manuale Cremonese (parte generale) alle pp , sia nel testo in uso De Santis-Cacciaglia- Saggese (volume unico) â Inoltre sia l’uno, sia l’altro contengono numerose regole, proprietà e teoremi per il calcolo con le trasformate di Laplace

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â La funzione F(s) determinata con la trasformata di Laplace è, ovviamente, una funzione complessa â Altrettanto vale per i(s) ed u(s) â Ciascuna di queste funzioni, dunque, contiene una parte reale ed una parte immaginaria â Le notazioni in uso per la parte reale e per il coefficiente della parte immaginaria di tali funzioni sono riassunte nella seguente tabella

Calcolare il valore della funzione F(s) Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) Esercizio s 2 + 3s - 1 (s+1)(s+2) F(s) = per s = - 2j, indicando esplicitamente il valore di Re[F(s)] ed Im[F(s)]

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â La trasformata di Laplace della funzione di trasferimento dei sistemi studiati comunemente, in particolare di sistemi di controllo a reazione negativa, si presenta quasi sempre come una funzione fratta: N(s) D(s) F(s) = k â N(s) e D(s), come si può intuire, sono le funzioni algebriche numeratore e denominatore della F(s) â m indicherà il grado del numeratore N(s) â n indicherà il grado del denominatore D(s)

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â Senza entrare in dettagli che saranno oggetto di esercizi, è noto dalla matematica che per ogni polinomio algebrico A(x) di grado q si hanno altrettante soluzioni, reali o complesse, singole o multiple, della corrispondente equazione A(x)=0 â Ciascuna delle funzioni N(s) e D(s) ha quindi un numero di soluzioni rispettivamente m ed n â Le m soluzioni della funzione numeratore N(s) sono dette zeri della F(s) â Le n soluzioni della funzione denominatore D(s) sono dette poli della F(s)

Il passaggio al dominio della frequenza con la trasformata di Laplace F(s) â Se chiamiamo z 1, z 2, …, z m gli zeri e p 1, p 2, …, p n i poli di F(s), matematicamente è possibile scrivere: N(s) = (s-z 1 )(s-z 2 ) … (s-z m ) e D(s) = (s-p 1 )(s-p 2 ) … (s-p n ) â Queste espressioni sono di fondamentale importanza nello studio dei sistemi â Esse consentono di rappresentare con una certa immediatezza la F(s) sui diagrammi di Bode, imparando poche regole piuttosto semplici

I segnali di ingresso nel dominio della frequenza â Come si è detto in precedenza, anche il segnale di ingresso i(t) dev’essere trasformato â È noto che molti sistemi vengono sottoposti a test utilizzando dei segnali di ingresso canonici come: – il segnale impulsivo (o  di Dirac) – il segnale a gradino – il segnale a rampa – il segnale sinusoidale â Di tali segnali è già nota l’espressione nel dominio del tempo (o quanto meno è noto l’andamento in un grafico temporale)

I segnali di ingresso nel dominio della frequenza

La risposta di un sistema nel dominio della frequenza â Nel dominio della frequenza, dunque, il calcolo dell’uscita è quasi banale: è sufficiente fare u(s) = i(s) F(s) â Per es., se applichiamo un segnale di prova a gradino i(s)=E/s ad un filtro attivo low-pass, che ha una funzione di trasferimento F(s)=A/(1+sRC), la risposta del sistema nel dominio della frequenza sarà u(s) = EA s(1+sRC)

La risposta nel dominio del tempo con l’antitrasformata di Laplace â Dopo i passi suddetti, rimane l’ultimo passaggio e cioè quello di operare l’antitrasformazione di Laplace del segnale d’uscita del sistema, utilizzando le tabelle già viste, per avere l’evoluzione nel tempo dell’uscita u(t) del sistema

La risposta nel dominio del tempo con l’antitrasformata di Laplace â Per es., nel caso appena visto di un filtro attivo low-pass, alla funzione nel dominio della frequenza u(s) = corrisponde la nota risposta nel tempo dei filtri attivi low-pass u(t) = EA(1-e -t/RC ) EA s(1+sRC)