GLI INSIEMI per la classe 1ai Prof: Paolo Govoni Materiale tratto dal sito www.matematicamente.it A cura del Prof.Cavagna

RAPPRESENTAZIONE A A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina. A Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 Marta  Simone  Andrea  Martina Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): Matteo  Anna 2 A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): 3 A = xx è amico di Marco

APPARTENENZA “” U A B a  e  b  f  d c  B = b; d A = a; b; d; e; f e  b  f  U = a; b; c; d; e; f d c  a  A, a  U, a  B, b  B, b  A, b  U c  U, c  B, c  A

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A U A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso a  B C b  d L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme c  A è un SOTTOINSIEME DI U B  A   C,   B, ….. C è un SOTTOINSIEME DI B A U C B A  A, B  B,…..

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE U = a; b; c; d; e; f A A = a; b; d; e; f a  B e  b  B = b; d f  d b; d  B c  a; b; d  A d  B

APPARTENENZA e INCLUSIONE b     d L’elemento b appartiene all’insieme A L’insieme d;b è uguale ad A L’insieme b è strettamente incluso nell’insieme A d;b  A oppure d;b = A b  A b  A

INSIEME COMPLEMENTARE. A A = CuA= xx U e x  A  U b  d  A E’ l’insieme degli elementi di U c  e  a  f  g  A =a; b; g Che non appartengono ad A

INSIEME COMPLEMENTARE. CBA CBA= xx B e x  A  B b  d  A E’ l’insieme degli elementi di B c  e  a  f  g  CBA =a; b; g Che non appartengono ad A

E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B INTERSEZIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A  B = xx A e x  B  B A A  B

CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE A  A = A Se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI A   =  A  A =  Se B  A allora A  B = B A  U = A

E’ l’insieme degli elementi UNIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A  B = xx A o x  B  B A A  B

UNIONE di insiemi DISGIUNTI L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B A  B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A = A A   = A A  A = U Se B  A allora A  B = A

A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B” B A A - B A - B = xx A e x  B  E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B A B A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. g  a  d  e  h  b  i  c  f  l  B g  A a  d  B - A = g; h; i; l e  h  b  i  c  f  l  B g  a  d  e  h  b  i  A - B = a; b; c c  f  A l 

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A =  A -  = A Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B Se B  A allora B - A = 

INSIEME DELLE PARTI “P(A)” Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) A = a; b; c; A a  b  c  I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: L’insieme delle parti di A è:  a b c a; b a; c b; c a; b; c P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n

PARTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A. A A2 A1 A3 A5 A4 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: Ogni sottoinsieme è proprio 1 Ai  A e Ai  ,  i I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti 2 Ai  Ak =  con i  k L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1  A2  A3  A4  A5 = A 3

Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y)x  A e y  B  Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 Si legge A cartesiano B A B a  1  A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1), b  (c ;2)  (b ;2), (c ;1), 2  c 

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A B a  Rappresentazione SAGITTALE 1  b  Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA 2  c  Rappresentazione CARTESIANA    2    1 a b c

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie A x A = A2 A x B  B x A Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N? Rispondi: N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!

Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero. N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

                           L’HOTEL DI HILBERT                Hotel infinito            

In rete: http://multifad.formazione.unipd.it/~insiemi/paradossi.htm In questo sito troverete: nozioni fondamentali sugli insiemi; animazioni riguardanti le operazioni fra insiemi; un po’ di storia relativa allo sviluppo della teoria degli insiemi; il paradosso dell’Hotel infinito di Hilbert. http://www.dm.unibo.it/matematica/AlgebraLineare/diz1/insiemi.htm Un ipertesto con brevi note teoriche, alcuni esempi ed esercizi.

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 1….. C Trova: A  B  C Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B  C = g; h; i; l A  B  C = d Esercizio Successivo A  B  C = d; e; f A  B  C = e; f

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 2….. C Trova: C - (A  B) Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  C - (A  B) = m; n C - (A  B) = e; f Soluzione passo passo Esercizio Successivo C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l

ESERCIZIO N. 3….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 4….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 5….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A (C - (A  B))  ((A  B) - C) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

RISPOSTE AI QUESITI

SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. Un clic del mouse per avanzare passo-passo Si tolgono a C gli elementi di A  B Trova: C - (A  B) C Soluzione = m; n m  n  B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  Torna all’esercizio

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