Funzioni di più variabili Occorrono funzioni più generali Le funzioni reali di variabile reale non sono idonee alla descrizione e allo studio di molti fenomeni naturali
ESEMPIO Funzione di produzione di Cobb-Douglas Questa legge definisce una funzione di due variabili che lega il prodotto nazionale annuo y di un paese, alla disponibilità di capitale K e di lavoro L
D si chiama dominio della funzione Definizione funzione reale di due variabili Una funzione reale di due variabili ad ogni punto P(x,y) è una legge che ad ogni punto P(x,y) dell’insieme D associa uno, ed un solo, elemento z=f(x,y) di R Funzioni di più variabili
Immagine di un punto P del dominio D di f
Come nel caso di funzioni di una variabile, se non è specificato il dominio D di f ma è definita solamente la legge, si intende come dominio il di f cioè Come nel caso di funzioni di una variabile, se non è specificato il dominio D di f ma è definita solamente la legge, si intende come dominio il DOMINIO NATURALE di f cioè il più grande insieme sul quale la legge data abbia senso
ESEMPIO ESEMPIO
Il della funzione di due variabili Il grafico della funzione di due variabili è l’insieme E’ quindi una superficie S nello spazio (x,y,z) NB: ogni retta perpendicolare al piano x,y incontra la superficie S al più in un punto NB: il grafico della funzione f(x,y)=K è un piano parallelo al piano (x,y) avente quota K
Per comprendere “l’andamento” di una funzione sono molto usate le LINEE (o curve) DI LIVELLO Le curve di livello si ottengono intersecando la superficie con un piano parallelo al piano x,y e proiettando poi ortogonalmente sul piano x,y le curve che si ottengono
Linee in corrispondenza delle quali la funzione assume valore costante z=K
Intorno di un punto r In, se e,
Funzioni continue (cioè quando esiste il limite e coincide col valore che la funzione assume nel punto)