Le Relazioni Prima parte Pag. B8

Prerequisiti Conoscere la rappresentazione degli insiemi Prodotto cartesiano

Relazioni Spesso in matematica sorge la necessità di collegare tra loro gli elementi di due insiemi. Quando ciò accade, si stabilisce una relazione tra i due insiemi.

Esempio Tra gli insiemi A={Italia, Francia, Spagna} e B={Parigi, Roma, Madrid} si stabilisce “naturalmente” una relazione che permette di collegare gli elementi...

Esempio Italia Roma Francia SpagnaMadrid Parigi

Quando si stabilisce una relazione tra insiemi... …si formano alcune coppie di elementi (Italia,Roma) (Francia,Parigi) (Spagna,Madrid)

Possiamo definire una relazione in due modi diversi: Elencando le coppie di elementi… … oppure descrivendo una regola che permetta di determinare le coppie. (Italia,Roma),(Francia,Parigi),(Spagna,Madrid) Una coppia è formata da una nazione e dalla sua capitale (Rappresentazione per elencazione) (Rappresentazione con proprietà caratteristica)

Visto che una relazione tra due insiemi A e B è un insieme di coppie… …possiamo dare la seguente definizione Definizione Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB

Possiamo rappresentare una relazione anche con un diagramma cartesiano ItaliaSpagnaFrancia Parigi Roma Madrid

Le Relazioni Seconda parte Pag. B10

Proprietà delle relazioni Consideriamo la relazione nell’insieme A={1,2,3,4,5} così definita: xRy se e solo se x è un multiplo di y Le coppie della relazione sono: (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2), (4,4), (5,1), (5,5) Ogni elemento è in relazione con sé stesso......la relazione si dice RIFLESSIVA

Proprietà delle relazioni Una relazione è riflessiva quando ogni elemento è in relazione con sé stesso. In simboli... (per ogni x elemento di A, x è in relazione con x)

Proprietà delle relazioni Nell’insieme delle parole del vocabolario, definiamo la relazione: “avere lo stesso numero di lettere”. Questa relazione è riflessiva? SI Perché ogni parola ha lo stesso numero di lettere… della parola stessa.

Proprietà delle relazioni Nell’insieme {1,2,3} è definita la relazione R={(1,1),(1,2),(3,2),(3,3)} E’ una relazione riflessiva? NO Perché il 2 non è in relazione con sé stesso

Proprietà delle relazioni Nell’insieme A={1,2,3,4,5} è definita la relazione xRy se e solo se x+y è un multiplo di 3 Le coppie della relazione sono... (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4) Si può vedere che ogni coppia della relazione, come (1,5), compare anche nell’ordine inverso (5,1). Quando ciò accade, si dice che la relazione è SIMMETRICA

Proprietà delle relazioni Una relazione è simmetrica quando ogni volta che x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. In simboli... (per ogni x in A e per ogni y in A, se x è in relazione con y allora y è in relazione con x)