Vettori in R n

I vettori I vettori sono gli oggetti matematici che costituiscono la base di tutte le teorie fisiche. Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari ; le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali.  vettori dello spazio (tridimensionale): la nostra esperienza  vettori del piano (bidimensionale))  spazi a più dimensioni e spazi astratti formati oggetti astratti quali le funzioni.

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari: grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la temperatura, il calore specico, l'energia …. per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unita di misura. Grandezze vettoriali: sono invece lo spostamento, la velocita, l'accelerazione, la forza, l'impulso……

I vettori Supponiamo di voler definire con precisione la posizione finale raggiunta da una sferetta disposta inizialmente nel punto A del piano se diciamo che il suo spostamento è pari ad 1 metro non possiamo individuare univocamente la posizione in quanto questa può trovarsi in un punto qualsiasi della circonferenza di centro A e raggio 1 m. Dobbiamo pertanto aggiungere delle altre informazioni, in particolare quelle legate alla nozione geometrica di direzione. Tracciata quindi una retta r per A, così da rappresentare la direzione di moto, potremo ora individuare due punti, definiti dalle intersezioni della circonferenza con tale retta. La posizione definitiva è descritta adeguatamente solo se aggiungiamo in quale verso si percorre tale retta.

I vettori Definizione di vettore: Un vettore nel piano (o nello spazio) è definito come l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti, ossia di tutti i segmenti orientati aventi la medesima direzione, verso e lunghezza.

I vettori Un vettore si può rappresentare come un segmento dotato di una freccia. Un generico vettore V dello spazio ha 3 componenti rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali ed è indicato come

I vettori componente di un vettore rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane nel piano :

I vettori Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne rappresenta la lunghezza definibile tramite il teorema di Pitagora. Il modulo del vettore V è indicato con |V| e vale : nello spazio e nel piano

I vettori sia c un vettore del piano definito dai due versori i e j (i  j). Se O è l'origine comune dei versori allora Poiché sappiamo possibile una decomposizione di c nella forma c = xi+yj vogliamo determinare il significato della coppia di numeri reali (x; y).

Operazioni con i vettori Esiste il vettore nullo le cui componenti sono tutte nulle e che ha perciò modulo 0. Esso coincide con l'origine 0 del sistema di assi cartesiani. Esso è : 0 = (0, 0, 0) e per ogni vettore V esiste il vettore inverso -V ottenuto moltiplicando per -1 tutte le sue componenti per cui :

Operazioni con i vettori Il vettore inverso di un vettore dato è quel vettore di uguale direzione, intensità ma di verso opposto. Dati i due vettori A e B, si definisce per addizione l'operazione che fa ottenere come risultato il vettore C = A + B le cui componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti : dove i = 1, 2, 3.

Operazioni con i vettori L'addizione fra due vettori ha una importante interpretazione grafica che va sotto il nome di regola del parallelogramma. Nel piano : Questa regola corrisponde in fisica alla legge di composizione delle forze.

Operazioni con i vettori Dati due vettori e naturale definire delle operazioni tra essi in modo da associare a ciascuna coppia un altro vettore. Prendendo spunto da una situazione fisica, consideriamo una particella che inizialmente si sposti da un punto A al punto B. Tale spostamento e rappresentato dal vettore a. Successivamente la particella si muove da B a C e questo ulteriore spostamento viene rappresentato da b. Lo spostamento complessivo è dato dal nuovo vettore c. Quest'ultimo è quello che si definisce vettore somma di a e b.

Operazioni con i vettori Siano a, b, c tre vettori qualsiasi. Per determinare la loro risultante a + b + c possiamo procedere in diversi modi. Grazie alla proprietà associativa a+b+c = (a+b)+c, si procede costruendo dapprima il vettore (a + b) e quindi il vettore risultante lo si somma a c

Operazioni con i vettori Un'alternativa meno laboriosa e più efficace nel caso che i vettori siano numerosi, consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente (regola del poligono). Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo

Operazioni con i vettori La differenza a-b di due vettori è la somma del vettore a con l'opposto del vettore b

Operazioni con i vettori Dati uno scalare (numero reale) k ed un vettore A, si definisce la moltiplicazione per uno scalare come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore B = k A le cui componenti sono date dal prodotto di k per le corrispondenti componenti di A : dove i = 1, 2, 3. Moltiplicando un vettore per k si ottiene un altro vettore di uguale direzione, intensità moltiplicata per |k| e stesso verso, se k è positivo, o verso opposto, se k è negativo. Ovviamente, moltiplicando un vettore per -1 si ottiene il vettore inverso e moltiplicando un vettore per 0 si ottiene il vettore nullo.

Operazioni con i vettori

per cui:

Operazioni con i vettori nello spazio tridimensionale:

Operazioni con i vettori

conseguenze: ovvero:

Componenti cartesiane di un vettore siano A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ) le coordinate degli estremi del segmento orientato

Componenti cartesiane di un vettore Distanza tra due punti

Componenti cartesiane di un vettore Nello spazio tridimensionale dobbiamo definire una terna di versori i, j, k ortogonali aventi la medesima origine O In termini delle coordinate A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) degli estremi del vettore si ha

Componenti cartesiane di un vettore

Prodotto scalare Fra due vettori A e B è possibile definire due tipi di moltiplicazione : quella scalare, che dà come risultato uno scalare, e quella vettoriale, che dà come risultato un vettore. Il prodotto scalare fra due vettori è definito come la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti ed è indicato con il simbolo ·, ovvero : il risultato del prodotto scalare è uno scalare (cioè un numero).

Prodotto scalare Il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico di essere uguale al prodotto del modulo del primo vettore per la proiezione dell'altro vettore sulla direzione su cui giace il primo. Graficamente, nel piano : Una tipica applicazione fisica del prodotto scalare è il lavoro. Quando una forza subisce uno spostamento vi è lavoro ed il suo valore è appunto dato dal prodotto scalare fra il vettore forza per il vettore spostamento.

Prodotto scalare. in particolare:..

Prodotto scalare Per i versori cartesiani i, j, k è quindi i 2 = j 2 = k 2 = 1, mentre per i prodotti misti si hanno Queste ultime relazioni evidenziano come il prodotto scalare tra versori ortogonali (i  j, i  k, j  k) risulti nullo

Prodotto scalare

Prodotto scalare e trigonometria

Proprietà dei triangoli Teorema dei seni: in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti Teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei due altri lati diminuito del doppio del prodotto delle misure di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato:

Prodotto scalare e teorema di Carnot

Prodotto Vettoriale

Prodotto vettoriale Vogliamo definire un'operazione interna a V e quindi dovremo associare alla coppia di vettori a e b un vettore che simbolizzeremo come Il primo problema che si incontra riguarda la direzione. Dobbiamo costruirci una regola che, partendo dai due vettori a e b, sia in grado di fornirci una direzione. oppure come il risultato del prodotto vettoriale è un vettore.

Prodotto vettoriale Notiamo che, fissati a e b ed applicati allo stesso punto O, risulta in generale (per ora escludiamo che siano paralleli) definito un piano passante per O e gli estremi A e B di a e b Conveniamo di assegnare a a  b la direzione perpendicolare al piano individuato dai due vettori: in tal modo si ha

Prodotto vettoriale Si tratta ora di determinare il verso. Possiamo utilizzare le nozioni di rotazione oraria e antioraria…ma…Una tale convenzione non sarebbe comunque soddisfacente in quanto la nozione di rotazione oraria e antioraria dipende dal punto di osservazione: difatti se si osserva la rotazione da punti appartenenti a ciascuno dei due semispazi formati dal piano, si ottengono risultati opposti. Prendiamo invece una comune vite avvitata su una sottile tavola di legno. Questa, solo se ruotata in un certo modo avanza, mentre per estrarla la si deve ruotare nel verso opposto. Un tale comportamento rimane immutato se si guarda dall'altro lato della tavola: ancora per farla avanzare nello stesso verso di prima bisogna ruotarla nello stesso modo.

Prodotto vettoriale Possiamo quindi in definitiva proporre la regola per il verso di a  b : a  b possiede il verso di avanzamento di un cavatappi fatto ruotare concordemente alla rotazione che sovrappone il primo vettore a sul secondo b, attraverso l'angolo convesso  < 180.

Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale risulta anticommutativo ossia tale che

Prodotto vettoriale

si dimostra che:

Prodotto vettoriale il risultato dei prodotto vettoriale può allora scriversi, per componenti, come per cui

Proprietà del prodotto vettoriale Proprietà associativa rispetto al fattore scalare: Proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale

Proprietà del prodotto vettoriale Per dimostrare che a  a = 0 si possono seguire due diverse vie. La più sintetica fa uso della proprietà anticommutativa per cui, commutando i fattori, dev'essere a  a = - a  a. Ne segue che il vettore prodotto c è uguale al proprio opposto –c e ciò può essere vero solo per il vettore nullo 0. L'altra si basa sullo sviluppo del determinante a  a = 0 che è ora Nota: un determinante con due righe uguali si annulla

Vettori ordinari liberi ed applicati

Un vettore libero (o semplicemente vettore) è una classe d’equipollenza di vettori applicati, cioè è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento orientato assegnato. Un vettore libero si può pensare come l’insieme di tutti i segmenti orientati concordemente aventi la stessa lunghezza e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta.

Vettori ordinari liberi ed applicati Si definisce campo vettoriale una regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è anche l'insieme di tali vettori. I campi, in ogni punto dei quali i vettori sono uguali, si dicono campi uniformi; quelli in cui i vettori (pur diversi) si mantengono inalterati nel tempo si dicono campi stazionari. Esempi di campi vettoriali sono il campo gravitazionale, il campo elettrico ed il campo magnetico.

Spazio vettoriale Il piano cartesiano, R n e le matrici

Definizione di spazio vettoriale Si tratta di una astrazione che comprende concetti che conosciamo; ad esempio il piano cartesiano, l'insieme delle funzioni studiate dall'analisi, l'insieme delle matrici m per n, l'insieme dei polinomi, i numeri reali stessi sono tutti esempi di insiemi che hanno una naturale struttura di spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è una collezione di vettori

Il piano cartesiano Il piano cartesiano, che denominiamo con il simbolo R 2, è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Tali coppie vengono rappresentate graficamente in un piano in cui disegniamo gli assi cartesiani (ascisse e ordinate) e mettiamo il primo valore numerico sull'asse delle ascisse e il secondo valore numerico sull'asse delle ordinate Sulle coppie ordinate possiamo fare le seguenti operazioni: 1.Somma di due coppie: 2.Moltiplicazione per un numero reale:

Il piano cartesiano E' molto utile associare ad ogni elemento (a; b) di R 2 un vettore e cioè una freccia uscente dall'origine e con la punta corrispondente al punto (a; b). La moltiplicazione per un numero reale invece e semplicemente data da un vettore avente la stessa direzione, lunghezza moltiplicata per il valore assoluto del numero reale dato e verso concorde o discorde a seconda che il numero reale sia positivo o negativo. La somma di due vettori è la diagonale uscente dall'origine.

Il piano cartesiano Poichè x e y sono numeri reali, R 2 eredita varie proprietà

Il piano cartesiano

Lo spazio R n

Distanza in R n sia R ⁿ = R x R x … x R (n volte) il prodotto cartesiano n- esimo di R (insieme dei numeri reali) ovvero l’insieme delle n-uple ordinate di numeri reali. Sia x=(x 1,x 2,…,x n )ed y=(y 1,y 2,…,y n ) dove x i ed y i appartengono ad R per i = 1, 2, …, n. Si definisce la distanza fra x ed y come:

Distanza in R n La definizione di distanza è derivata dal teorema di Pitagora, infatti, geometricamente

Le matrici 2x2

Spazi vettoriali Un insieme V si dice uno spazio vettoriale reale se sono definite due operazioni con le seguenti proprieta:

Spazi vettoriali

Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori e i numeri reali si dicono scalari. L'elemento neutro della somma in V si indica con 0 e si dice vettore nullo. il piano cartesiano, R n e le matrici sono esempi di spazi vettoriali.