Lezione marzo 2015

nota su "a meno che" A meno che (non) = oppure Il dolce lo porto io (I) a meno che (non) lo porti Mario (M) I  M   I  M  I  M la negazione è pleonastica, paragonare a: "non ho detto niente" = "non ho detto alcunché"

Esempio 4.21 p. 106 Questo esempio, oltre a mostrare l'uso della regola di intro della negazione, illustra una strategia: se abbiamo a disposizione una disgiunzione, tipicamente è utile cercare di dimostrare che entrambi i disgiunti implicano la conclusione desiderata. In questo caso, cerchiamo di ottenere questa conclusione con la regola di intro della neg.

Esercizio risolto 4.23  (P & Q) |–  P   Q Strategia: dimostriamo per assurdo e quindi ipotizziamo; (1)  (  P   Q) Per ottenere una contraddizione cerchiamo di dimostrare l'opposto della nostra premessa, ossia P & Q Dobbiamo quindi dimostrare una congiunzione. Per farlo, dobbiamo dimostrare entrambi i congiunti: P, Q Ma come? Per assurdo, ossia prima ipotizzando  P, poi  Q In entrambi i casi, grazie alla regola  I ottengo una contraddizione

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare:  (P & Q) |–  P   Q Soluzione

Strategie dimostrative (1) Per dimostrare una formula atomica: in mancanza di altre strategie, ipotizzare la negazione della conclusione per ottenere la sua doppia negazione tramite ∼ I, quindi applicare ∼ E. (2) Per dimostrare una negazione: assumere per ipotesi la conclusione senza il segno di negazione per ottenere un assurdo, quindi applicare ∼ I. (3) Per dimostrare una congiunzione: dimostrare ciascuno dei congiunti separatamente e poi congiungerli mediante &I.

Strategie dimostrative (ii) (4) Per dimostrare una disgiunzione: provare a derivare uno dei disgiunti per applicare ∨ I; se questa strategia fallisce, comportarsi come nel caso delle fbf atomiche, cioè assumere la negazione della conclusione e poi applicare ∼ I e ∼ E. (5) Per dimostrare una condizionale: ipotizzare l’antecedente e derivare il conseguente, poi applicare →I. (6) Per dimostrare una bicondizionale: usare →I due volte per dimostrare i condizionali necessari a ottenere la conclusione per ↔I.

Strategie dimostrative (iii) Aggiungerei: se tra le premesse è disponibile una disgiunzione P v Q e bisogna dimostrare C, provare a dimostrare sia P -> C che Q -> C e poi applicare vE

Logica Lezioni 17-18,

Sommario delle 10 regole di base Guardare insieme la tabella riassuntiva 4.2 a p. 118

Esempio per sostituzione Un esempio per sostituzione di una fbf o di una forma argomentativa è il risultato della sostituzione di zero o più lettere enunciative con fbf qualsiasi, anche complesse, purché ogni occorrenza della stessa lettera venga sostituita dalla stessa fbf Diciamo zero o più’ per permettere a ogni forma di valere come esempio per sostituzione di se stessa. Esempio...

P → Q, ∼ Q |– ∼ P Sostituzioni: P = (P ∨ N) Q = ∼ S (P ∨ N) → ∼ S, ∼∼ S |– ∼ (P ∨ N)

Regole derivate Se è valida una certa forma argomentativa P1,..., Pn |– C, sarà valido qualsiasi esempio per sostituzione P1*,..., Pn* |– C* di quella forma Motivo: potrei ripetere gli stessi passi dimostrativi che mi hanno condotto a C da P1,... Pn, questa volta per ottenere C* da P1*,..., Pn* Quindi la dimostrazione di una forma argomentativa genera una corrispondente regola DERIVATA

Esempio: abbiamo dimostrato (es. 4.18) che questa forma è valida: P → Q, ∼ Q |– ∼ P Allo stesso modo potremmo dimostrare la validità di qualsiasi esempio per sostituzione di tale forma. Quindi posso assumere questa regola derivata: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ ψ, (è lecito) inferire ∼ φ.

regole derivate notevoli Alcune regole derivate sono particolarmente utili e intuitive. Gli è stato quindi assegnato un nome ed è utile conoscerle e imparare a usarle per abbreviare le dimostrazioni. Quella che abbiamo appena visto viene chiamata Modus tollens (MT): MT Modus tollens: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ ψ, (è lecito) inferire ∼ φ. v. tabella 4.3 p. 118

Esercizio risolto 4.25 Dimostrare: (P  N) →  S |–  S →  (P  N) Soluzione Per apprezzare l’utilità pratica delle regole derivate è sufficiente confrontare questa dimostrazione con quella riportata qui sotto, in cui si fa a meno del richiamo a MT e si riproduce invece per intero la derivazione del corrispondente esempio per sostituzione:

Regole ASS e DC ASS (assimilazione, assorbimento): v. 4.26, p. 110 DC (dilemma costruttivo): v. prossima diap.

Esercizio risolto 4.27 Dimostrare la regola derivata DC, cioè: P  Q, P → R, Q → S |– R  S Soluzione