ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Salvatore Ventre DAEIMI, Università degli Studi di Cassino Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE con il contributo di Y. Liu, M. Furno Palumbo, R. Palmaccio, G. Rubinacci, F. Villone

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Sommario Introduzione Il codice CarMa Metodo Veloce/Parallelo Risultati Conclusioni e prospettive

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Introduzione Instabilità nei dispositivi fusionistici Plasmi fusionistici descritti da equazioni MHD Modi instabili di plasma con costanti di tempo microsecondi Le correnti indotte sulle strutture passive dalle perturbazioni di plasma hanno un effetto stabilizzante A causa della resistività finita, le eddy currents decadono modo ancora instabile ma con costanti di tempo millisecondi: Resistive Wall Modes (RWM) E possibile controllo attivo per stabilizzare il modo E necessaria unanalisi dettagliata della struttura conduttrice 3D con solutori nel limite magneto-quasi-statico richiesta una grossa capacità computazionale

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Si introduce una superficie S: allinterno di S equazioni MHD su S appropriate condizioni di raccordo fuori di S modello delle Eddy Currents: Il codice CarMa Approccio modellistico plasma S Resistive wall Formulazione integrale in cui la densità di corrente J è lincognita Si sposa con la geometria tipica dei dispositivi fusionistici con alti rapporti vuoto/pieno (solo i conduttori devono essere discretizzati) Conduttori 3D di forma arbitraria (e.g. no thin-shell approximation) Trattamento automatico di geometrie con topologia complessa Possibile anisotropia resistiva Inclusione nel modello degli elettrodi di alimentazione

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Tensioni di alimentazione J= T Termine dovuto al plasma Il codice CarMa Formulazione numerica

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici 0, : valori di tentativo Sistema nella forma stato-vettore Il codice CarMa Procedura iterativa per la determinazione di autovalori e autovettori instabili Risolto usando metodo iterativo

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Assemblare,Immagazzinare,Risolvere un sistema (reale o complesso) denso (# Unknows ~ 200k ) METODO ITERATIVO Risolvere efficacemente Valutare efficacemente il prodotto tempo per costruire ogni termine di A memoria necessaria a immagazzinare ogni termine di A tempo necessario per fare il prodotto di ogni termine di A PRESTAZIONI DIPENDONO DA Il codice CarMa Il bottleneck computazionale

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Impatto numerico dei singolo termini TERMINEAssembly TimeMemory Required Computation Time RLOW SQHIGHLOW Il codice CarMa LHIGH

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Metodo Veloce Il problema non è scalabile efficacemente solo utilizzando il parallelo Matrice piena O(N 2 ) Memoria Inversione (metodo diretto) O(N 3 ) Inversione (metodo iterativo precondizionato) O(N 2 ) T s (N)=O(N 2 ) Tempo seriale di inversione Tempo parallelo di inversione Usando p processori (ideale) T p (N)=O(N 2 /p) T s (N s )= T p (N p )

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Termine L IMPROVEMENTS SPARSIFICAZIONE (compressione) PARALLELO new OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente metodo di compressione in una implementazione parallela Metodo Veloce Assembly balancing: assemblare il termine in maniera da equilibrare i tempi di calcolo tra processori Memory balancing: la memoria locale necessaria per contenere il termine deve essere equidistribuita tra i processori Computation balancing: il tempo di calcolo per costruire il prodotto locale deve essere equilibrato tra processori Fattori determinanti le prestazioni

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Metodo Veloce Introduzione di una griglia multilivello che include tutta mesh Decomposizione in parte vicina e lontana Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione) Calcolo esatto della parte vicina Sparsificazione di L (con complessità quasi lineare)

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Introduzione Griglia Multilivello Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Calcolata senza errori. Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2 Basso rango # totale di interazioni lontane approssimata Decomposizione in parte vicina e lontana Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Siano m e and m (n e and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2). Compressione QR approssimata della matrice di interazione Q R m×n m×r r×n EFFICIENTE (m+n) × r << m×n. Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR) Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Implementazione Parallela di L FAR Costo assemblaggio della matrice di interazione locale Costo Totale assemblaggio Assembly balancing Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Prestazioni dellalgoritmo sub-ottimo Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete linterazione i Algoritmo di distribuzione dei carichi Costo di assemblaggio del k-simo processore Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo) Memory /Computation balancing di L far Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente Non cè bisogno di ulteriori comunicazioni Metodo Veloce

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Metodo iterativo : standard gmres Dettagli Implementativi Come precondizionatore usiamo MUMPS ( ) (free parallel solver for large sparse matrix) MUMPS supporta lassemblaggio parallelo Non sono necessarie ulteriori riallocazioni comunicazioni codice è in standard fortran 90 libreria parallela è MPI ( Macchina target Altix System ( (Shared Memory Machine) In futuro il codice girerà anche su SCOPE ( (Grid Computing ) Metodo Veloce In cui per si intende valutato sulla sparsità di Precondizionatore

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici # Nodi # Elementi # Incognite Occupazione necessaria per allocare la matrice completa 298GB (Metodo fast/parallel) Occupazione reale 25GB distribuita in maniera uniforme tra 32 processori (circa 780 MB per ogni processore) Risultati Studio dei RWM in ITER 1/2 La mesh usata copre 360° in direzione toroidale!

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Distribuzione di corrente associata al modo instabile includendo i blanket modules (schermi neutronici) Risultati Studio dei RWM in ITER 2/2 Studiati numerosi equilibri di plasma con diverse assunzioni sul livello di dettaglio delle strutture conduttrici

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Utilizzando il metodo veloce e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture di interesse fusionistico la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili: dettagliata descrizione della geometria inclusione di loop di controllo riproduzione di risultati sperimentali Attività futura: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) ad altri problemi elettromagnetici descritti da una simile formulazione integrale (e.g. materiali magnetici) Conclusioni e prospettive

ET2010, Napoli 11 giugno 2010 S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Grazie per lattenzione ……