Lezione XVI Compensazione

Richiami sulla risposta in frequenza (analisi small-signal)  Amplificatore a source comune Effetto Miller  Amplificatore a drain comune Guadagno ridotto-banda più ampia  Amplificatore differenziale con carico in pinch-off Comportamento analogo al circuito a source comune

Richiami sulla risposta in frequenza  Amplificatore differenziale con carico autopolarrizzato Effetto dello specchio di corrente  Configurazione cascode/folded  Circuiti multistadio

Comportamento in frequenza dei carichi attivi  Prima di iniziare a studiare le tecniche di compensazione in frequenza consideriamo il diverso comportamento di un carico a specchio nei confronti di un carico in pinch-off su un amplificatore differenziale

Carico in pinch-off  Nella propagazione dal segnale dall’ingresso verso l’uscita gli ingressi in1-in2 sono esattamente equivalenti  La capacità CL include le capacità C DB1, C DB3, C GD1, C GD3  Il polo dominante è sicuramente dato da C L r 01 ||r 03  Il nodo Vb1, anche se realizzato attraverso un ramo di polarizzazione è una massa per il segnale.

Carico a specchio di corrente  La situazione è differente rispetto al caso precedente.  In questo caso i percorsi da ingresso a uscita hanno funzioni di trasferimento diverse e quindi vanno considerate entrambe E

Percorso in1-out  Da in1 verso out incontriamo un polo al nodo E e poi il polo sul nodo di uscita  Il polo al nodo E è chiamato polo dello specchio o “Mirror pole”  La valutazione del polo E è relativamente semplice: la resistenza vista al nodo è praticamente 1/g m3 mentre la capacità C E è la somma di C gs3, C db3, C gs4, C db1 e le capacità C gd1 e C gd4 aumentate dell’effetto Miller E

Percorso in2-out  Da in2 verso out incontriamo il polo CLRout  Quindi, complessivamente, la funzione di trasferimento ha un polo dominante dovuto al nodo di uscita ed un polo non dominante dovuto allo specchio  La frequenza a cui si manifesta questo polo è relativamente bassa e limita quindi le prestazioni di questo tipo di circuito E

Considerazioni generali  Un qualsiasi sistema lineare, chiuso in un anello di feedback, può presentare guadagno infinito se βH(s)=-1, amplificare il proprio rumore e, di conseguenza, oscillare (presentare uscita finita anche se x(t)=0) H(S) + - X(s) Y(s) β e(s)

Criterio di Barkhausen  La condizione βH(s)=-1 può essere espressa, nel dominio di Fourier, dalla coppia di equazioni che definisce il criterio di Barkhausen  Notiamo che, alla pulsazione ω 1, il segnale dall’ingresso all’uscita dell’anello di retroazione, fa un giro completo di 360°

Sul diagramma di Bode  Dobbiamo riportare modulo e fase di βH(s) e andare a guardare i punti dove il modulo vale 1 e la fase -180°  Le frequenze a cui ciò avviene sono parametri critici: Chiamiamo punto di crossover del guadagno il punto GX Chiamiamo punto di crossover della fase punto PX  Un sistema è stabile se GX<PX GX PX

Esempio  Studiamo la stabilità in feedback di un amplificatore ad un solo polo dominante  Scopriamo che il sistema è ancora ad un sol polo e quindi incondizionatamente stabile dal momento che lo sfasamento che può introdurre è al massimo di -90°

Il luogo delle radici  Un altro utile strumento per lo studio dei sistemi in controreazione è il cosiddetto luogo delle radici (root locus)  Ci consente di visualizzare, al variare del parametro β, la posizione degli zeri del polinomio 1+βH(s), ovvero il comportamento del sistema controreazionato, e vedere se, ad esempio, possono diventare a parte reale positiva (e quindi innescare oscillazioni che, nel tempo, divergono)

Esempio  Un sistema ad un solo polo rimane tale quando viene chiuso in feedback.  Il suo polo s P =-ω 0 (1+βA 0 ) ha parte reale che vale -ω 0 per β=0 e si allontana sempre di più dall’asse immaginario all’aumentare di β  Lo studio del luogo delle radici, ci consente di verificare per quale valore di β le radici diventano immaginarie pure e quindi il sistema si candida ad oscillare Root Locus Real Axis Imag Axis x x ω0ω0 β=0

Esempio  Studiamo la stabilità in feedback di un amplificatore a due poli (ad esempio un operazionale a due stadi)  Scopriamo che il sistema è ancora incondizionatamente stabile dal momento che la fase diventa pari a 180° per una frequenza teoricamente infinita e quindi, di sicuro, GZ<PZ  E’ chiaro anche che, al diminuire del feedback, il diagramma di Bode del modulo si abbassa e quindi GZ si muove verso sinistra rendendo ancora più stabile il sistema

Margini di stabilità  Per garantire stabilità ad un sistema chiuso in feedback basta dunque garantire che GZ<PZ  Il problema è adesso quantificare la disuguaglianza, ovvero stabilire che distanza deve esserci tra GZ e PZ per assicurarci che, anche nelle condizioni peggiori, il sistema rimanga stabile

Margine di fase  Consideriamo la fase di βH(s) in GZ  Affinchè il sistema sia stabile quest’ultima sarà sicuramente < 180°  Possiamo definire il margine di fase PM come: PM=180°+φ(βH(j ω 1 ) )  Il sistema è stabile se PM>0. In generale PM=60° è una buona scelta.

Margine di ampiezza  Consideriamo il caso duale, ovvero il modulo di βH(s) in PZ  Chiaramente, affinchè si abbia stabilità dovra essere | βH(jω 2 ) |<0 dB  Definiamo il margine di ampiezza GM come | βH(jω 2 ) | dB

Compensazione in frequenza  I circuiti operazionali possono contenere più di un polo  E’ dunque necessario intervenire sulla loro risposta in frequenza per garantire che, ad anello chiuso, il loro comportamento sia stabile e la risposta al gradino non contenga eccessive oscillazioni  Bisognerà garantire la stabilità con adeguati margini di fase/ampiezza

Azione su PX -180° PX  Per stabilizzare il comportamento di un operazionale possiamo agire sul diagramma della fase spingendo verso destra il punto PX  Questo in pratica significa ridurre il numero di poli nel percorso tra ingresso ed uscita

Azione su GX  D’altra parte possiamo agire su GX spingendolo verso sinistra  Ovviamente in questo caso si riduce la banda passante dell’operazionale  In generale si cerca di progettare l’operazionale mantenedo al minimo il numero di poli e successivamente si applica la correzione su GX per ottenere un margine di fase soddisfacente -180° GX

Esempio  Consideriamo un amplifcatore a singolo stadio telescopico cascode con il carico a specchio per convertire il segnale da differenziale a single-end e cerchiamo di identificare i poli lungo il percorso dall’ingresso verso l’uscita  I percorsi da considerare sono In1-out e In2-out

Percorso in1-out  Il primo polo lo incontriamo al nodo X sul drain di M1. Questo polo è dato dalla capacità C x per la resistenza 1/g m3  Il secondo polo lo troviamo sul nodo A Questo polo è dato dalla capacità C a per la resistenza 1/g m5  Il terzo polo lo troviamo sul nodo N Questo polo è dato dalla capacità C n per la resistenza 1/g m7  Infine troviamo il polo sul nodo di uscita dovuto alla capacità C L per la resistenza R out di uscita di tutto l’amplificatore M1M2 M3M4 Iss M5 PMOS M6 M7 Vb1 In1In2 Vb2 Vout Vdd X A N

Riepilogo  Una volta identificati i poli conviene provare, almeno grossolanamente, a caprine la posizione relativa in funzione della frequenza  Dal momento che la resistenza di uscita R out, in configurazione cascode, è sicuramente parecchi ordini di grandezza rispetto a 1/g mx è ipotizzabile che il polo dominante sia dovuto al nodo di uscita, indipendentemente dalla capacità di carico  Qualche difficoltà in più la troviamo nel determinare la posizione relativa degli altri poli

Riepilogo NodoCapacitàResistenzaPosizione X=YCx1/gm34 ACa>Cx,Cn1/gm5>1/gm3 Se V OD5 =V OD3 2 NCn>Cx1/gm7>1/gm33 OutCLRout

Diagramma di Bode  L’osservazione del diagramma di Bode si βH(s) per β=1 ci consente di determinare una strategia vincente per la stabilizzazione di questo circuito  Posso pensare di agire sul polo dominante e spostarlo verso sinistra semplicemente aumentando la capacità di carico C L  Se effettuo la correzione in modo che la GX si trovi proprio in corrispondenza del polo 2 avrò ottenuto un margine di fase di 45° 1 231’1’

Considerazioni  Il fattore di aumento di C L sarà ovviamente il rapporto tra le frequenze dei poli 2 e 1 (teorema di Pitagora)  La frequenza di taglio a guadagno unitario corrisponderà al polo 2. Questo ci indica una regola per la progettazione di operazionali wide-band: Il primo polo non dominante deve trovarsi quanto più a destra possibile La configurazione con il carico a specchio è da evitare in quanto introduce un “mirror pole” non dominante a frequenze relativamente basse  Aumentare la resistenza di uscita R out non stabilizza l’operazionale. Perchè?  Agire sui poli non dominanti non stabilizza l’operazionale. Perché?

Esempio  Consideriamo adesso la versione completamente differenziale del circuito a singolo stadio cascode  Come abbiamo visto, la mancanza di dispositivi connessi a diodo elimina il “mirror pole”  Ci aspettiamo che, a parità di banda, rispetto al caso precedente questo circuito presenti maggiori proprietà di stabilità

Considerazioni preliminari  Dall’ingresso verso l’uscita troviamo sicuramente il polo al nodo X (o Y) non dominante e il polo dominante sul nodo Vout1 C L R out  Come si comportano però i poli nei nodi N e K ?  Possiamo pensare che la capacità C N, alle alte frequenze, abbassi l’impedenza di uscita di M7 abbassando l’impedenza di uscita complessiva del circuito  Cerchiamo di quantificare quest’effetto XY NK