Luoghi di punti In geometria il termine luogo di punti indica l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una determinata proprietà P. Esempi: l’asse di un segmento (luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento); la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo).

Luoghi nel piano cartesiano Nel piano cartesiano un luogo di punti è individuato da una relazione algebrica fra le coordinate (x, y) dei suoi punti. L’equazione dell’asse di un segmento AB è il luogo dei punti P(x, y) per i quali PA = PB ESEMPIO Scriviamo l’equazione dell’asse del segmento AB di estremi A(−2, 3) e B(4, −1).

Luoghi nel piano cartesiano Se r e s sono le rette a cui appartengono i due lati di un angolo, un punto P(x, y) del piano appartiene alla bisettrice se la distanza di P da r è uguale alla distanza di P da s: ESEMPIO Date due rette r e s e troviamo l’equazione delle bisettrici degli angoli formati da r e s. cioè continua

Luoghi nel piano cartesiano Dalla definizione di modulo otteniamo: cioè Delle due rette trovate, la prima è la bisettrice dell’angolo ottuso formato da r e s (in colore rosso), la seconda è la bisettrice dell’angolo acuto (in colore blu); osserviamo tra l’altro che le due bisettrici sono perpendicolari.

La parabola: definizione e caratteristiche La parabola è il luogo dei punti P equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice. Caratteristiche geometriche: possiede un asse di simmetria a che si ottiene tracciando da F la perpendicolare alla direttrice; infatti ogni punto della parabola che si trova alla destra del fuoco rispetto a questa retta ha un suo corrispondente sulla sinistra; in questa simmetria il punto V di intersezione della parabola con il suo asse è il solo punto che ha per corrispondente se stesso (punto unito); a tale punto si dà il nome di vertice della parabola.

La parabola: equazione Fissato un sistema di riferimento cartesiano in modo che la direttrice della parabola sia parallela all’asse x l’equazione della parabola è: L’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y e ha equazione: il vertice è il punto V di coordinate con Δ = b2 − 4ac

La parabola: equazione Il coefficiente a determina la concavità della parabola: se a > 0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto se a < 0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

x y −1 2 La parabola: costruzione del grafico Per costruire il grafico di una parabola occorre sempre determinare le coordinate del vertice; l’asse di simmetria è poi la retta parallela all’asse y che passa per il vertice. Altri punti del grafico possono essere trovati attribuendo opportuni valori alla variabile x e calcolando quelli corrispondenti di y. ESEMPIO a > 0 quindi la parabola è concava verso l’alto coordinate del vertice: asse di simmetria: troviamo le coordinate di qualche punto: x y −1 2

Proporzionalità diretta Due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo insieme. Esempio numerico: A e B sono direttamente proporzionali perché

Proporzionalità diretta Se due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali, i rapporti fra le misure di grandezze corrispondenti sono costanti; il valore comune di tutti i rapporti prende il nome di costante di proporzionalità diretta. Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con m la costante di proporzionalità, possiamo esprimere la relazione di proporzionalità diretta con la relazione: 16 10 6 3 5 8 In questa equazione, riscritta nella forma y = mx, riconosciamo l’equazione di una retta passante per l’origine (tranne l’asse y).

Proporzionalità inversa Due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo. Esempio numerico: A e B sono inversamente proporzionali perché

Proporzionalità inversa Se due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali, il prodotto fra le misure di due elementi che si corrispondono non cambia al variare della coppia scelta; il valore comune di tutti i prodotti prende il nome di costante di proporzionalità inversa. Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con k la costante di proporzionalità (k ≠ 0), possiamo esprimere la relazione di proporzionalità inversa con la relazione: Dal punto di vista analitico, una proporzionalità inversa è quindi il luogo dei punti per i quali rimane costante il prodotto fra l’ascissa e l’ordinata. La curva rappresentata da tale equazione prende il nome di iperbole equilatera.

Gli zeri di una funzione Si chiamano zeri di una funzione f (x) le ascisse dei punti di intersezione di f (x) con l’asse delle x. Gli zeri si determinano quindi risolvendo l’equazione f (x) = 0 ESEMPIO Lo zero della funzione f (x) si ottiene risolvendo l’equazione

L’interpretazione grafica delle disequazioni lineari Le soluzioni della disequazione si possono interpretare graficamente disegnando la retta di equazione e considerando la semiretta positiva oppure negativa a seconda del verso della disequazione. ESEMPIO Disegniamo la retta che interseca l’asse delle ascisse in La semiretta che ci interessa è quella positiva (in rosso nella figura) e ad essa corrispondono valori di x maggiori di .

Le funzioni con i moduli Per costruire il grafico della funzione si deve: costruire il grafico di eseguire una simmetria rispetto all’asse delle x delle sole parti negative del grafico precedente ESEMPIO disegniamo la parabola manteniamo la parte positiva e costruiamo la simmetrica della parte negativa. Costruiamo il grafico di