Logica Lezione 11,

Annuncio Non si terrà la lezione di Lunedì 16 Marzo

Decidibilità della log. prop. Le tavole di verità forniscono un criterio rigoroso e completo per determinare la validità o invalidità delle forme argomentative della logica proposizionale, così come per determinare la tautologicità, la contingenza vero- funzionale o l’inconsistenza di singole fbf. Esse costituiscono pertanto un vero e proprio algoritmo, cioè un test determinabile con precisione, eseguibile da un computer, e tale da fornire sempre un responso in un numero finito di operazioni finite. Quando esiste un algoritmo in grado di stabilire se le forme argomentative esprimibili in un sistema formale siano valide o no, il sistema in questione è detto decidibile. Le tavole di verità, in tal modo, garantiscono la decidibilità della logica proposizionale.

Alberi di refutazione Forniscono un altro algoritmo, più rapido. E' un metodo basato sul "ragionamento per assurdo": neghiamo la conclusione e verifichiamo se in tutte le situazioni possibili emerge una contraddizione. Per fare questa verifica cerchiamo esaustivamente tutte le situazioni (tutti i modi) in cui premesse + conclusione negata possono essere vere, scomponendo (mediante regole) le formule complesse fino ad arrivare a lettere enunciative e lettere enunciative negate

Ricerca di tutte le situazioni: esempio Consideriamo: (P & Q), (P v  Q) ci sono due situazioni (identificate attraverso lettere enunciative e lettere enunciative negate) (1) sono veri sia "P" che "Q" ed è vero " P" (2) sono veri sia "P" che "Q" ed è vero "  Q" (IMPOSSIBILE!) (NB: A rigore ci vogliono le virgolette, ma spesso le evitiamo per brevità) Procedendo in questo modo costruiamo un albero rovesciato. Quando ci sono due opzioni, costruiamo due rami distinti

Proviamo... Illustriamo il metodo con un esempio. Seguiremo delle regole meccaniche riassunte nella tavola 3.2 a p. 90. NB: E' opportuno numerare tutte le righe che via via si vanno aggiungendo. NON lo faremo in questo primo esempio.

Esercizio risolto 3.25 Costruire un albero di refutazione per stabilire se la forma seguente è valida: P  Q, P   Q |–  P

Cominciamo formando una lista composta dalle premesse e dalla negazione della conclusione: P  Q P  Q  P La formula ‘  P’ è equivalente alla più semplice ‘  P’, di conseguenza possiamo segnarla e scrivere ‘  P’ in fondo alla lista. Poi segniamo ‘P  Q’ ed evidenziamo le sue possibilità di verità tracciando due rami: Soluzione (1 di 3) Continua nella pagina seguente

Il cammino di sinistra contiene sia ‘P’ che ‘  P’, quindi lo chiudiamo con una ‘X’. Quello di destra, invece, resta aperto. Lo estendiamo con due rami, corrispondenti alle situazioni in cui ‘P  Q’ (che non avevamo ancora segnato) può essere vera: Soluzione (2 di 3) Continua nella pagina seguente

A questo punto notiamo che entrambi i cammini così ottenuti contengono formule fra loro inconsistenti: il primo contiene ‘P’ e ‘  P’; il secondo ‘Q’ e ‘  Q’. Questo vuol dire che possiamo chiudere anche questi due cammini con una ‘X’: Soluzione (3 di 3) Questo è l’albero completo. Dal momento che il tentativo di refutazione fallisce lungo tutti i cammini, la forma argomentativa originale è valida.

Il metodo degli alberi di refutazione (i) Per verificare la validità di una forma argomentativa mediante gli alberi di refutazione, si comincia formando una lista composta dalle sue premesse e dalla negazione della sua conclusione. Si procede mediante 10 regole (tavola 3.2, p. 90) (controllando di volta in volta quale di queste è applicabile) sino a ottenere soltanto lettere enunciative o negazioni di lettere enunciative oppure la X che indica contraddizione e chiude un cammino.

Il metodo definito precisamente (ii) Le 10 regole (v. p. 90): Negazione Negazione negata Congiunzione Congiunzione negata Disgiunzione Disgiunzione negata Condizionale Condizionale negato Bicondizionale Bicondizionale negato "Negazione" ci permette di chiudere un cammino quando c'è una contraddizione. Si deve sempre tentare di applicarla non appena abbiano ricavato una fbf della forma ̴  Le altre regole corrispondono a nove possibili tipi di fbf complessa che possiamo trovarci di fronte e ci permettono di estendere l'albero con formule più semplici.

Il metodo definito precisamente (iii) Quando nessuna regola è applicabile, l'albero si conclude. Se tutti i cammini si chiudono, la forma argomentativa è valida. Se qualche cammino rimane aperto, la forma argomentativa è invalida.

Precisazione NB: alla fine ciascun cammino contiene lettere enunciative "positive" (non negate) oppure negate. Un cammino corrisponde all'ipotesi che le sue lettere positive esprimono proposizioni vere e quelle negate proposizioni false (assegnazioni di valori di verità) Un cammino che rimane aperto è un'ipotesi COERENTE o POSSIBILE, secondo la quale tutte le fbf del cammino sono vere. Quando le cose stanno in quel modo, nella forma argomentativa in questione le premesse sono vere e la conclusione falsa: CONTROESEMPIO. Se non ci sono controesempi, la forma argomentativa è valida.

Esempio P → Q,  Q |– P P → Q  Q  P / \  P Q Ipotesi 1: Q è falso, P è falso, [quindi (P → Q) è vero] Ipotesi 2: Q è falso, P è falso, Q è falso X La prima ipotesi è coerente e quindi costituisce un controesempio alla validità dell'argomentazione

Logica Lezioni 12-13, 10/3/2015

verifica dello statuto logico di una singola fbf  con alberi di refutazione Il libro può confondere perché non presenta i passi della procedura con un ordine univoco. Consideriamo ̴  e applichiamo il metodo degli alberi. SI possono verificare 2 casi: Caso 1. Tutti i cammini si chiudono. Allora ̴  è inconsistente. Quindi  è tautologica, perché negando una tautologia otteniamo sempre un'inconsistenza. Caso 2. Rimangono dei cammini aperti; il che vuol dire che negando  non otteniamo inconsistenza, e quindi  NON è tautologia. Rimane da verificare se  è inconsistente o contingente. CONT...

Inconsistenza o contingenza? Per decidere se  è inconsistente o contingente, applichiamo il metodo degli alberi a  stessa. Caso 2a. Tutti i cammini si chiudono. Vuol dire che non ci sono situazioni in cui  è vera. Quindi,  è inconsistente. Caso 2b. Alcuni cammini restano aperti. Quindi,  non è inconsistente. Ma abbiamo già escluso (caso 1) che è una tautologia. Quindi  è contingente.

Esercizio (variante) Verificare lo statuto logico di:  (Q → (P &  P)) Soluzione L’albero comincia con la negazione della fbf in esame. Poiché però il cammino sul ramo sinistro rimane aperto, concludiamo che la fbf non è tautologica. Dobbiamo ancora verifcare se è inconsistente o contingente. CONTINUA...

3.33 (cont.) Per verificare se  (Q → (P &  P)) è inconsistente o contingente, costruiamo un albero per essa stessa.  (Q → (P &  P)) Q  (P &  P) / \  P   P P Rimangono dei cammini aperti (caso 2a; in questo particolare caso tutti i cammini sono aperti): la fbf è contingente

Esercizio risolto 3.29 Costruire un albero di refutazione per stabilire se la forma seguente è valida: P → Q |– P  Q Soluzione La regola della disgiunzione negata si applica alla riga 2 per ottenere le righe 3 e 4. Il cammino aperto nell’albero terminato indica che la forma è invalida e che ogni situazione in cui sia ‘P’ che ‘Q’ sono false è un controesempio.

Cap. 4 - Il calcolo proposizionale Nota sull'uso della parola "calcolo" Verranno usate le regole riassunte nella tabella 4.2 a p. 118

Esercizio risolto 4.1 Dimostrare:  P → (Q → R),  P, Q |– R Soluzione La prima premessa è un condizionale il cui antecedente è negato e il cui conseguente è a sua volta un condizionale. La riga 2 contiene l’antecedente. Perciò la derivazione del suo conseguente alla riga 4 è chiaramente un esempio di eliminazione del condizionale, così come il passo dalle righe 3 e 4 alla riga 5.

Esercizio risolto 4.3 Dimostrare: P & Q |– Q & P Soluzione L’ordine con cui otteniamo i due congiunti dalla congiunzione iniziale mediante &E è indifferente. Avremmo anche potuto scrivere ‘Q’ alla riga 2 e ‘P’ alla 3. Cìò avrebbe comunque consentito l’applicazione di &I per ottenere la conclusione alla riga 4

condizionale, congiunzione e disgiunzione Abbiamo visto la regola di eliminazione del condizionale (MP). Quella di introduzione è più complicata e la vedremo in seguito abbiamo visto le regole di eliminazione e introduzione della congiunzione. Adesso passiamo alle regole sulla disgiunzione

Intro della disgiunzione Per la regola di introduzione della disgiunzione guardiamo insieme dal libro l'esercizio 4.6, p. 97

Eliminazione della disgiunzione Idea di fondo: Se ho P v Q e posso derivare R sia da P che da Q, allora posso asserire R Vediamo la regola all'opera nel prossimo esempio

Esercizio risolto 4.9 Dimostrare: (P  Q) & (P  R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Soluzione