TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE UdA n. 1 classe 2 A

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca definita nell’insieme dei punti del piano. Questo significa che ad ogni punto P corrisponde un punto P’ e ogni punto P’ è il corrispondente di qualche punto P del piano. P’ si dice immagine di P ( o trasformato di P ) secondo la trasformazione T; P si dice controimmagine di P’. P P’ T

Un punto fisso ( o unito ) è un punto P che coincide con il suo trasformato P’. In generale una figura fissa è una figura i cui punti sono tutti trasformati in se stessi mediante la trasformazione. Una figura unita è una figura che viene trasformata in se stessa, anche se i punti si scambiano tra loro. Nella figura sotto l’unico punto fisso nella simmetria assiale che trasforma ABCD in AB’C’D’ è il punto A. A CC’BB’ D D’

A A’ BB’ H’ H La figura AA’B’B è unita rispetto alla simmetria di asse HH’ perché i punti A e A’, B e B’ si scambiano tra loro e non sono fissi. Tutti i punti del segmento HH’ sono invece fissi.

INVARIANTI DI UNA TRASFORMAZIONE Le proprietà di una figura che non cambiano in una trasformazione geometrica si dicono invarianti. Una trasformazione geometrica si classifica a seconda degli invarianti che possiede. Vediamo quali sono gli invarianti che può avere una trasformazione geometrica.

Si dice che una trasformazione geometrica conserva la linearità se trasforma rette in rette e segmenti in segmenti. Si dice che una trasformazione geometrica conserva il parallelismo se trasforma rette parallele in rette parallele. LINEARITA’ e PARALLELISMO

Altri esempi :

Si dice che una trasformazione geometrica conserva le misure dei segmenti se la distanza tra due punti P e Q è uguale a quella tra le loro immagini P’ e Q’. Si dice che una trasformazione geometrica conserva le ampiezze degli angoli se l’ampiezza dell’angolo di vertice V e lati a e b è uguale a quella dell’angolo che ha vertice l’immagine V’ di V e per lati le immagini a’ di a e b’ di b. Si dice che una trasformazione geometrica conserva le misure delle aree se la misura dell’area della figura F è uguale a quella della figura F’ trasformata di F. MISURE DEI SEGMENTI, AMPIEZZE DEGLI ANGOLI, MISURA DELLE AREE

Si dice che una trasformazione geometrica conserva il rapporto tra i segmenti se il rapporto tra il segmento AB e la sua immagine A’B’ è costante, qualunque siano gli estremi A e B del segmento. Si dice che una trasformazione geometrica conserva il rapporto tra le aree se il rapporto tra la misura dell’area della figura e quella della figura F’ trasformata di F è costante, comunque si prenda la figura F. RAPPORTO TRA I SEGMENTI e RAPPORTO TRA LE AREE

Analizziamo queste trasformazioni:

Si dice che una trasformazione geometrica conserva le direzioni se trasforma una retta r in una retta r’ parallela ad r. Si dice che una trasformazione geometrica conserva l’ orientamento dei punti se i vertici di un poligono F e quelli del poligono F’ trasformato hanno lo stesso orientamento ( orario o antiorario ). DIREZIONI e ORIENTAMENTO DEI PUNTI

Osserviamo ancora :

 COLLINEAZIONI ( invariantI : linearità )  AFFINITA’ ( invarianti : linearità e parallelismo)  SIMILITUDINI ( inavrianti : linearità, parallelismo, ampiezze degli angoli,rapporto tra i segmenti, rapporto tra le aree)  ISOMETRIE ( invarianti : linearità, parallelismo, misura dei segmenti, ampiezza degli angoli, misura delle aree ) CLASSIFICAZIONE DELLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

DIAGRAMMA DI VENN COLLINEAZIONI AFFINITA’ SIMILITUDINI ISOMETRIE

Noi ci occuperemo di isometrie e di una particolare similitudine che si indica con il nome di OMOTETIA. Le isometrie si dividono in quattro categorie:  TRASLAZIONI  SIMMETRIE ASSIALI  ROTAZIONI E SIMMETRIE CENTRALI  GLISSOSIMMETRIE ( queste non saranno oggetto per ora di studio da parte nostra) ISOMETRIE E OMOTETIA

Ecco un esempio per ciascun gruppo : Simmetria assiale

Traslazione

Omotetia

Rotazione e simmetria centrale

Ad ogni gruppo verrà assegnata una trasformazione geometrica e i componenti del gruppo devono preparare una lezione di 10 minuti in cui spiegare ai compagni : Come è definita la trasformazione Che «effetto» ha sulle figure e, quindi, i suoi invarianti Se ci sono punti fissi, rette fisse, rette unite Se ci sono in natura, in architettura, nel mondo che ci circonda esempi di applicazione della trasformazione stessa Quali sono le equazioni della trasformazione considerata in un sistema di riferimento cartesiano QUAL E’ LA SITUAZIONE DI COMPITO?