LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE A cura di: Alessio Ciro Romano; Joseph Thomas Chun; Luca Martinelli.

COSA SONO: Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto di un piano uno e un solo punto del piano stesso. Può anche essere considerata come la corrispondenza biunivoca del piano stesso. Il primo punto si dice antitrasformato o controimmagine del secondo mentre quest’ultimo si dice immagine del primo

Per ogni trasformazione t esiste una trasformazione inversa 𝑡 −1 In un sistema di riferimento cartesiano ad ogni punto associamo un punto immagine attraverso due funzioni chiamate equazioni della trasformazione: Le proprietà geometriche che si conservano durante la trasformazione si chiamano invarianti

PARTICOLARITÀ DEGLI ELEMENTI: DELLE TRASFORMAZIONI: Un punto unito è un punto che ha per immagine se stesso Una figura unita è una figura che ha per immagine se stessa e può essere puntualmente unita (se composta da punti uniti) o globalmente unita (se non ci sono punti uniti) Un’identità è una trasformazione nella quale ogni punto è un punto unito Una trasformazione involutoria è una trasformazione t che composta con se stessa dà come risultato un’identità

TRASLAZIONE: IL VETTORE In un piano cartesiano identifichiamo un vettore ponendo uno dei suoi estremi nell’origine degli assi ed indicando l’altro attraverso una coppia di numeri detti componenti. Lo stesso vettore può essere rappresentato con altri segmenti orientati chiamati equipollenti ovvero con uguale modulo, stessa direzione e stesso verso.

TRASLAZIONE Una traslazione di vettore 𝑉è una trasformazione che associa ad un punto P un punto P’ tale che il vettore cha ha questi punti come estremi sia equipollente a V. Una traslazione può essere orizzontale (a;0), o verticale (0;a) ed in generale è descritta dalle equazioni:

ROTAZIONE Fissati nel piano un punto O ed un angolo α la rotazione di ampiezza α è la trasformazione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ tale che il segmento 𝑃𝑃′ = 𝑂𝑃′ . La rotazione è descritta dalle equazioni, se O coincide con l’origine degli assi: In caso contrario: 𝑥 ′ =(𝑥− 𝑥 𝑐 )cos α −(𝑦− 𝑦 𝑐 )𝑠𝑒𝑛 α+ 𝑥 𝑐 𝑦 ′ =(𝑥− 𝑥 𝑐 )𝑠𝑒𝑛 α − 𝑦− 𝑦 𝑐 𝑐𝑜𝑠 α+ 𝑦 𝑐

ROTAZIONE Un caso particolare di rotazione è la rotazione nulla, ossia la rotazione di angolo nullo o di un angolo multiplo di un angolo giro. La rotazione nulla coincide con l’identità.

SIMMETRIA CENTRALE La simmetria centrale è quella trasformazione che, fissato un punto C, associa ad ogni punto P un punto P’ tale che M sia il punto medio di 𝑃𝑃′ . La simmetria centrale è descritta dall’equazione:

SIMMETRIA ASSIALE La simmetria assiale è quella trasformazione che a partire da una retta del piano r, ad ogni punto P associa un punto P’ tale che r sia l’asse del segmento 𝑃 𝑃 ′ .

SIMMETRIA ASSIALE La simmetria assiale può essere riferita: All’asse y: all’asse x: alla bisettrice del I, III quadrante: alla bisettrice del II, IV quadrante:

ISOMETRIE Un’isometria è una trasformazione geometrica nella quale la distanza tra due punti A e B, e le loro immagini A’ e B’, rimane costante. 𝑥 ′ =𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 𝑦 ′ = 𝑎 ′ 𝑥+ 𝑏 ′ 𝑦+𝑐′ Utilizzando il metodo di Cramer, individuiamo il determinante k. Se k = 1 , allora l’isometria è una traslazione, una rotazione o una simmetria centrale. Se invece k = -1 , si tratta di una simmetria assiale.

OMOTETIE Un’omotetia è una trasformazione che, dato un centro O e un numero reale k ≠0, associa ad ogni punto P un punto P’ tale che: 𝑂𝑃′ = k · 𝑂𝑃 Questa trasformazione è descritta dalla seguente equazione: 𝑥 ′ =𝑘 𝑥− 𝑥 𝑐 + 𝑥 𝑐 𝑦 ′ =𝑘 𝑦− 𝑦 𝑐 + 𝑦 𝑐

PROPRIETÀ DELLE OMOTETIE Se k > 1 l’omotetia ingrandisce la figura. Se k < 1 l’omotetia rimpicciolisce la figura. Se k > 0 due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine O. Se k < 0 essi si trovano su due semirette opposte.

SIMILITUDINI Si definisce una similitudine una trasformazione geometrica che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti ossia comunque si scelgano i punti A e B, considerati i loro trasformati A’ e B’ , si ha: 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐴𝐵 =k In cui il valore di k (sempre positivo) viene detto rapporto di similitudine. Ha le seguenti equazioni: 𝑥 ′ =𝑎𝑥−𝑏𝑦+𝑐 𝑦 ′ =𝑏𝑥+𝑎𝑦+𝑐′ 𝑥 ′ =𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 𝑦 ′ =𝑏𝑥−𝑎𝑦+𝑐′ Con k= 𝑎 2 + 𝑏 2

AFFINITÀ Un’affinità è una trasformazione geometrica che trasforma rette in rette e mantiene il parallelismo. Le affinità non conservano le figure, né gli angoli. Le proprietà tipiche delle affinità che consentono, nella trasformazione, di mantenere invariate le figure vengono dette invarianti. Esse sono: Allineamento (tra tre o più punti); Parallelismo (tra rette); Incidenza (due rette incidenti nel punto P).

EQUAZIONI DI UN’AFFINITÀ Un’affinità è definita dall’equazione: 𝑥 ′ =𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 𝑦 ′ = 𝑎 ′ 𝑥+ 𝑏 ′ 𝑦+𝑐′ con ab’-a’b≠0 È necessario distinguere due casi: Affinità diretta: se ab’-a’b > 0 (viene mantenuto l’orientamento dei vertici di un poligono); Affinità indiretta: se ab’-a’b < 0 (l’orientamento viene invertito).

RICAPITOLANDO…