Se il piano è perpendicolare (ortogonale) all’altezza del cono abbiamo la CIRCONFERENZA! LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, denominato centro. LEGGE GEOMETRICA: P ϵ ˠ  PC = r C = di coordinate stabilite P = deve soddisfare la legge LEGGE ALGEBRICA P(x;y) C(α;β) PC = (x-α)²+(y-β)² Condizioniamo il punto P ad essere sempre alla stessa distanza dal punto C e farne una circonferenza … arriviamo all’equazione cartesiana : (x-α)²+(y-β)² = r ² FORMA CANONICA: X² + Y² + ax + by + c =0

È una delle 4 coniche reali, è quindi un’equazione di 2° grado in x e y. DEFINIZIONE GEOMETRICA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta denominata direttrice. ELEMENTI NECESSARI: - retta (direttrice) -punto (fuoco) EQUAZIONE DELLA PARABOLA Y= a x ² + b x + c

È un luogo geometrico che a differenza della parabola non esprime una funzione. DEFINIZIONE GEOMETRICA: È la sezione di un cono, ed è il luogo geometrico dei punti del piano tali che è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE x ² + y ² = 1 a ² b ² se a >b  Se b>a  a b b a

DEFINIZIONE GEOMETRICA: È un luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanza da due punti fissi detti fuochi ASINTOTI : gli asintoti di un’iperbole sono 2 rette che indicano la direzione verso cui si orientano i rami dall’iperbole y =± b x a EQUAZIONE DELL’IPERBOLE x ² - y ² = ±1 a ² b ² Se a=b  iperbole equilatera x ² - y ² = 1 a ² a ²

ATTIVITA’ N°1 : Scrivi le equazioni delle tre coniche rappresentate nell’immagine e motiva brevemente le tue scelte. Individua altresì eventuali simmetrie assiali o centrali. Parto ricavando l’equazione della circonferenza … L’ho calcolata in due modi, sia per via algebrica, sia geometrica: (2;0) a+0+c=0 (-2;0) a+0+c=0 (0;2) b+c=0 2 a -c C = 2 a – 4 = 2 b - 4 -c 2 2 = a = -2 a =0  a=0 C = -4 b = =0  b = 0 x ² + y ² = 0  x ² + y ² = dall’immagine so che r=2 e C = (0;0) (x-α)² +(y-β)²= r ² (x-0)²+(y-0)²=4 x²+y²=4

Con geogebra ho verificato se effettivamente l’equazione calcolata corrispondeva alla circonferenza datami nella traccia.

Calcolo ora l’equazione dell’ ellisse a=2 b=4 a< b infatti il semiasse maggiore, come si può ben vedere dall’immagine è b (asse y) x ² y ² a ² b ² + =1 x ² y ² =1 Sostituisco a e b nell’equazione canonica dell’ellisse Verifica con geogebra

Calcolo ora l’equazione dell’ iperbole : Prima di tutto, ho notato che la retta segnata nell’immagine è un asintoto posizionato con un’inclinazione di 45° e passante per il centro … l’altro asintoto che non è segnato risulterà perpendicolare a questo ed entrambi possono essere considerati le bisettrici dei quadranti. Si tratta di un’ iperbole equilatera la cui equazione è x ² y ² a ² - =1 O x ² - y ²= a ² Poiché a = a Dall’immagine so che: V(-2;0) V(2,0) a=2  a²=4 sostituisco e trovo l’equazione: x ² - y ²= 4 Verifica con geogebra:

Noto che tutte e tre le coniche presenti nell’immagine presentano una simmetria assiale rispetto all’asse x, rispetto all’asse y e centrale rispetto all’origine. Le equazioni di simmetria rispetto all’asse x sono : x  x e y  -y … sostituendo x con x e y con –y l’equazione della curva non cambia. Rispetto all’asse y sono: x  -x e y  y … se sostituisco x con –x e y con y l’equazione della curva non cambia. Rispetto all’origine sono: x  -x e y  -y…se sostituisco x con –x ed y con –y l’equazione della curva non cambia. In questo specifico caso, tutte e tre le equazioni presentano solo potenze pari, non cambiano se cambiamo di segno x o y.

ATTIVITA’ N°2 Data l’equazione parametrica (4k² - 1) x ² + (6k - 3) y ² = k Stabilire per quali valori di k 1. l’equazione rappresenta una circonferenza Generalmente, affinché sia una circonferenza deve essere soddisfatta  a ² + b ² - 4c ≥ 0 In questo caso, perché sia una circonferenza: 4k²-1 = 6k-2 4k²-6k+1 =0 Δ=36-32=4 k₁,₂= 6± = 1 K=1 (4-1)x ² + (6-3) y ² = 1 3x² + 3y² =1 X²+y² = 1 3 K = ½ [4(½)² - 1] x ² +[6 (½ ) -3] y ² = ½ 0= ½ Per K=1 l’equazione rappresenta una circonferenza.

Data l’equazione parametrica (4k² - 1) x ² + (6k - 3) y ² = k Stabilire per quali valori di k 2. l’equazione rappresenta un’iperbole Consideriamo come asse focale l’asse x. 4k²-1 > k 0 6k-3 < 0 k N>0  4k²-1>0  k ½ D>0  k>0 N>0  6k-3>0  k> ½ D>0  k>0 - ½ 0 ½ ½ ½ 0 ½ < k < ½ - ½ 0 ½ Per nessun valore di k sarà un’iperbole con asse focale sull’asse x

Consideriamo come asse focale l’asse y 4k²-1 < 0 k 6k-3 > 0 k N>0  4k²-1>0  k ½ D>0  k>0 N>0  6k-3>0  k> ½ D>0  k>0 - ½ 0 ½ K< - ½ U 0<k < ½ 0 ½ K ½ - ½ 0 ½ Per k< - ½ l’equazione rappresenta un’iperbole con asse focale sull’asse y.

Data l’equazione parametrica (4k² - 1) x ² + (6k - 3) y ² = k Stabilire per quali valori di k 3. la curva è un’ellisse con l’asse maggiore sull’asse delle ordinate Se non ci fosse stato specificato “ asse maggiore sull’asse delle ordinate” sarebbe bastato imporre 4k² - 1 = 6k-3 … Per avere asse maggiore sull’asse delle ordinate  a<b 4k²-1 > 0 k 6k-3 > 0 k N>0  4k²-1>0  k ½ D>0  k>0 - ½ 0 ½ ½ ½ N>0  6k-3>0  k> ½ D>0  k>0 0 ½ K ½ - ½ 0 ½ E’ ELLISSE PER - ½ ½ … MA

per soddisfare quanto ci è richiesto a questo punto bisogna imporre a<b. K _ 4k²-1 K _ 6k-3 < K(6k-3)-k(4k²-1) _ (4k²-1)(6k-3) 6k²-3k-16k²+k _ (4k²-1)(6k-3) -10k² -2k _ (4k²-1)(6k-3) 5k² + k _ (4k²-1)(6k-3) <0 >0 I > 0  5k² + k > 0 k 0 II > 0  4k² -1 > 0 k ½ III > 0  6k-3 >0 k> ½ - ½ - 1/5 0 ½ ½ < K < - 1/5 U o < k < ½

Metto a sistema i 2 risultati … - ½ < K < - 1/5 U o < k < ½ - ½ ½ Faccio il grafico… - ½ - 1/5 0 ½ -½ < k < - 1/5 la curva è un’ellisse con l’asse maggiore sull’asse delle ordinate per ½ < k < - 1/5 Torna alla scelta

Attività num 3: Osserva bene il grafico. Sapendo che A ha coordinate A(4,2), determina: 1. l’equazione della parabola L’equazione della parabola è : y = ax²+bx+c A(4,2) B(0,2) C(2,0) D(0,6) F(6,0) O(0,0) Impongo il passaggio per tre punti (A/C/D): A(4,2) 2 = 16 a +4b + c C(2,0) 0 = 4 a + 2b + c D(0,6) 6 = 0+0+c  c=6 16 a + 4b + 4 =0 4 a +b+1= 0 b = -2 a -3 b=-2-3= -5 0= 4 a +2b +6 b = -2 a -3 c = 6 c =6 C = 6 c=6 4 a-2 a -3+1 =0  2 a-2=0  a=0 a = 1 L’equazione della parabola è : y = x ² Verifica con geogebra 

Attività num 3: Osserva bene il grafico. Sapendo che A ha coordinate A(4,2), determina: 2. L’equazione della circonferenza Il centro della circonferenza equivale a  C(- a/2, -b/2)… nel nostro caso è un punto ben noto ed ha coordinate  C(2;0). Calcolo ora il raggio, ovvero quel segmento che (in figura) va da A a C (AC): CA = (4-2)² +(2-0)²  4+4  8  2 2 Sostituisco questi valori nella formula : (x-α)² +(y-β)²= r ² (x-2)²+(y-0)²=8 X²+4-4x+y² =8 y²+x²-4x-4=0  questa è l’equazione della circonferenza ricavata per via geometrica Provo a calcolarla anche algebricamente 

-a/2 =2 a=-4 -b/2 =0 b= a+2b+c = c= 0  c = -4 x²+y²-4x-4=0 Calcolo l’equazione della circonferenza per via algebrica. Verifica con geogebra

Attività num 3: Osserva bene il grafico. Sapendo che A ha coordinate A(4,2), determina: 3. L’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto A. mi servo dell’immagine e provo ad imporre il passaggio della retta per due punti: A(4,2) D (0,6) y-y1 = x-x1 y2-y1 x2-x1 Y-2 = x-4  y-2 = x-4  y-2= -x +4   Y = -x +6 N.B “una retta tangente ad una circonferenza in un suo punto è sempre perpendicolare al raggio.” quindi avrei potuto seguire anche altri procedimenti come ad esempio imporre la tangenza …

Verifica con GeoGebra

Attività num 3: Osserva bene il grafico. Sapendo che A ha coordinate A(4,2), determina: 4. verificare che il rapporto tra l’area del quadrilatero e quella del triangolo è pari a 7/2 Dato che il raggio e retta tangente sono perpendicolari tra loro : COD e CAD sono due triangoli rettangoli. Calcolo l’area di CAD : CA * AD = 2√2*5.65= COD = CO * OD = 2 * 6 = Calcolo l’area di COD Sommo ora le due aree per avere quella totale del quadrilatero. 6+8= 14

Dunque, l’area del quadrilatero è 14… e l’area del triangolo 4… Verifichiamo ora se il rapporto tra le due aree è 7/ Calcolo ora l’area del triangolo CAF  4*2 = 4 2 n.b. il triangolo CAF è isoscele, poiché abbassando l’altezza, il piede di quest’ultima è il punto che ha per ascissa quella di A, cioè 4, che lo divide esattamente in 2, si trova a metà tra 2 e 6.

ROBERTA BOSCAINO IV A