DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTERE Un approccio al METODO GRAFICO di risoluzione

ax 2 + bx + c =0 Partiamo da ciò che è noto: Quali sono i numeri reali che sostituiti al posto della x nel trinomio danno come risultato il numero 0? Sappiamo già trovare le soluzioni di un'equazione e sappiamo anche che ne esistono al massimo due Equivale a chiedersi: EQUAZIONE di secondo grado intera

ax 2 + bx + c >0 Possiamo estendere la ricerca e chiederci anche: ax 2 + bx + c <0 Quali sono i numeri reali che sostituiti al posto di x nel trinomio danno come risultato un numero positivo? Quali sono i numeri reali che sostituiti al posto di x nel trinomio danno come risultato un numero negativo? DISEQUAZIONI di secondo grado intere

Possiamo concludere che: ax 2 + bx + c = 0 Studiare : ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 STUDIARE COME VARIA IL SEGNO DEL POLINOMIO P(X)= ax 2 + bx+c AL VARIARE DI x IN R EQUIVALE

PROBLEMA Vogliamo studiare come varia il segno del trinomio P(x)= x 2 -6x-7 al variare di x in R 1) Iniziamo con alcuni numeri: si assegni ad ogni alunno della classe un numero x:

2) Si sostituisca nel trinomio al posto della x il numero assegnato e se ne calcoli il risultato mettendone in evidenza il segno. x=3 P(3)= (3)-7= -16 Segno - Quando quando x vale 3 il polinomio dà come risultato un numero negativo cioè: se X= 3 X 2 -6X-7<0 x=9 P(9)= (9)-7= -16 Segno + Quando x vale 9 il polinomio dà come risultato un numero positivo cioè: se X= 9 X 2 -6X-7>0 x=3 P(3)= (3)-7= -16 ''zero'' Quando x vale -1 il polinomio dà come risultato il numero zero (si annulla) cioè: se X= -1 X 2 -6X-7<0 E così via.....

Immaginate di essere il vostro numero e, alzino la mano... …i numeri che sostituiti alla x nel trinomio hanno dato come risultato un numero positivo Questi numeri sono alcune delle soluzioni reali di P(x)=x 2 -6x-7> 0... i numeri che sostituiti alla x nel trinomio hanno dato come risultato un numero negativo Questi numeri sono alcune delle soluzioni reali di P(x)=x 2 -6x-7< 0...i numeri che sostituiti alla x hanno dato come risultato zero (hanno annullato il trinomio) Questi numeri sono tutte le possibili soluzioni reali di P(x)=x 2 -6x-7=0 Ripetiamo: tali soluzioni sono al massimo 2!!! NOTA: possono essere più di due!!!

Nella seguente tabella sono riportati i dati relativi ad ogni alunno. X X^2 -6X -7Segno OSSERVAZIONE: SI NOTI L'ANDAMENTO ORDINATO CON CUI, NELLA TERZA COLONNA, I SEGNI + E - SI DISTRIBUISCONO ATTORNO AI DUE ''ZERO''

Per visualizzare meglio l'andamento regolare del segno del polinomio, proviamo a scattare una sorta di ''fotografia'' dei dati riportati in tabella.... In un piano cartesiano si riportino: sull'asse delle x (asse delle ascisse) i numeri assegnati ad ogni alunno sull'asse delle y (asse delle ordinate) i valori calcolati mediante il polinomio P(x)=x 2 -6x-7 Si disegnano cioè i punti (x, x 2 -6x-7) GRAFICO associato al polinomio

Con il grafico si vede che : 1) i numeri che sostituiti alla x nel trinomio davano valori positivi ora sono ascisse di punti che si trovano più in alto rispetto all'asse x cioè punti ad ordinata positiva 2) i numeri che sostituiti alla x nel trinomio davano valori negativi ora sono ascisse di punti che si trovano più in basso rispetto all'asse x cioè punti ad ordinata negativa 3) i numeri che sostituiti alla x nel trinomio lo annullavano ora sono ascisse di punti che si trovano proprio sull'asse x cioè punti ad ordinata zero (nulla)

STUDIARE IL SEGNO DEL POLINOMIO P(x)=x 2 -6x-7 AL VARIARE DI X IN R Quindi utilizzando il grafico si può dire che: equivale a STUDIARE IL SEGNO DELL'ORDINATA y = x 2 -6x-7 DEI PUNTI DELLA PARABOLA AL VARIARE DELL'ASCISSA X

Facendo variare x in R si passa da un grafico per punti al grafico continuo di una PARABOLA

Immaginiamo di camminare sull'asse x: 1) andando da -∞ a -1 i punti della parabola si trovano al di sopra dell'asse x cioè hanno ordinata positiva y=x 2 -6x-7 >0 se x<-1 2) in -1 il punto della parabola si trova proprio sull'asse x quindi ha ordinata zero y=x 2 -6x-7 =0 se x=-1 3) andando -1 a 7 i punti della parabola si trovano al di sotto dell'asse x cioè hanno ordinata negativa y=x 2 -6x-7 <0 se -1< x<7

...continuando a ''camminare'' sull'asse x: 4) in 7 il punto della parabola si trova proprio sull'asse x quindi ha ordinata zero y=x 2 -6x-7 =0 se x=7 5) andando da 7 a +∞ i punti della parabola si trovano nuovamente al di sopra dell'asse x cioè hanno ordinata positiva y=x 2 -6x-7 >0 se x>7 y=x 2 -6x-7 >0 se x 7 Riepilogando: y=x 2 -6x-7 =0 se x=-1 x=7 y=x 2 -6x-7 <0 se -1<x<7

Ricapitolando

Abbiamo visto che: 1) ax 2 + bx + c = 0 Studiare : ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 STUDIARE COME VARIA IL SEGNO DEL POLINOMIO P(X)= ax 2 + bx+c AL VARIARE DI x IN R EQUIVALE

2) P(x)= x 2 +24x Concavità verso l'alto se a>0 Ogni polinomio di secondo grado può essere associato al grafico di una parabola di punti (x, ax 2 +bx+c) P(x)= -(1/2)x 2 +8 Concavità verso il basso se a<0

Si può concludere che: Risolvere: ax 2 +bx+c = 0 ax 2 +bx+c > 0 ax 2 +bx+c < 0 Significa chiedersi: Quali sono le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata uguale a zero (=che stanno sull'asse x)? Quali sono le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva (=che stanno al di sopra dell'asse x)? Quali sono le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata negativa (=che stanno al di sotto dell'assex)

OPERATIVAMENTE Passi per risolvere una disequazione. 1) Guardo il coefficiente del termine di secondo grado e disegno una parabola con la concavità verso l'alto se a>0 o verso il basso se a<0 2) Considero l'equazione associata ax 2 +bx+c=0 e la risolvo trovando i valori di x in cui la parabola taglia l'asse x e disegno l'asse x 3) Ritorno alla disequazione: ax 2 +bx+c >0 avrà come soluzioni le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva ax 2 +bx+c <0 avrà come soluzioni le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata negativa ax 2 +bx+c ≥0 avrà come soluzioni le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla ax 2 +bx+c ≤0 avrà come soluzioni le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata negativa oppure nulla