La legge di Faraday-Neumann-Lenz e l’induttanza Induzione magnetica La legge di Faraday-Neumann-Lenz e l’induttanza

Legge di Faraday Un filo percorso da corrente crea un campo magnetico. Con un magnete si può creare una corrente? La risposta è no se il campo magnetico è statico, si se il campo magnetico varia Il frutto di molti anni di osservazioni sperimentali ci porta a dire che: la condizione imprescindibile per avere una corrente è che il campo magnetico, concatenato al circuito, sia variabile. Indipendentemente da come si realizza la variabilità; più è rapida la variazione più e intensa la corrente indotta. Se il flusso concatenato aumenta la corrente avrà un verso, se diminuisce il verso opposto

Legge di Faraday – Neumann - Lenz Consideriamo una superficie A delimitata da una spira: il flusso passante nella spira è: FB =∫ B . dA. [Weber = Wb = T . m2]. Naturalmente se B è l ad A FB = BA e se B è ll ad A FB = 0 Il segno meno indica che la f.e.m. indotta ha un verso tale da creare un campo magnetico che si oppone al campo magnetico che l’ha generata

Trasferimento di energia dovuta all’induzione Indipendentemente da come di realizza la variazione di flusso concatenato, anche la semplice circolazione di elettroni indotti nella spira implica un trasferimento di energia dall’esterno al sistema magnete-spira. Come valutarla? Nel caso di figura la potenza è P = Fv. La spira si muove con velocità v e il campo B concatenato diminuisce, quindi per la legge di Lenz si crea una corrente che a sua volta, risentendo di B, viene spinta all’interno del campo F B= BA = BLx  |fem| = dF/dt = d(BLx)/dt = BLv La corrente indotta sarà i = BLv/R (*) la quale essendo immersa nel campo B sarà soggetta alla legge di Lorentz Fd = iL x B. F2 ed F3 sono si annullano, lasciando solo F1 ad opporsi a F, la forza che tende a spostarla. Quindi F = i L B sin 90° = i L B sostituendo i con la (*) Lavoro meccanico Lavoro termico

Induzione di un campo elettrico Se in una spira immersa in un campo magnetico variabile B viene indotta una corrente nei punti della spira deve esserci un campo elettrico E. Naturalmente se non c’è la spira il campo elettrico si genera lo stesso a condizione che il campo magnetico B continui ad essere variabile. Possiamo dire che un campo magnetico variabile produce una f.e.m. (cioè un lavoro per unità di carica) dato da: f.e.m. = - dFB/dt. D’altronde il lavoro che fa il campo elettrico (indotto) su una carica qo è L = qo∫E . ds quindi:

Induttanze Come il condensatore confinava un campo elettrico uniforme fra due armature metalliche, così l’induttore o induttanza confina un campo magnetico in una ristretta regione di spazio. La corrente che circola nella spira crea un campo magnetico e tale campo magnetico induce a sua volta una certa corrente nella spira. Questa è una autoinduzione ed è legata alla corrente che l’ha prodotta dalla relazione L = NFB/i [H = Tm2A-1] Per un solenoide N numero di spire n densità delle spire l lunghezza del solenoide A superficie della spira i corrente nel filo B Intensità del campo magnetico m0 permeabilità magnetica = 4p . 10-7 Hm-1

Autoinduzione Si è visto che se in un circuito la corrente varia si otterrà una f.e.m. indotta quindi: N FB = L i ; dalla legge di Faraday f.e.m. = - (d/dt) N FB ovvero La presenza del segno meno mi indica che se la corrente aumenta la f.e.m. si oppone a questo aumento e viceversa se diminuisce la f.e.m. contribuirà ad aumentare la corrente

Circuiti RL (1) Nei circuiti capacitivi si è visto che l’applicazione di una d.d.p. ai capi di un condensatore non implica l’immediato caricamento del condensatore. q = C (fem)(1- e –t/RC) (carica di C) q = q0 e –t/RC (scarica di C) Allo stesso modo una crescita della corrente nel circuito induttivo fa aumentare la corrente di Lenz che si oppone all’aumento di correnti in tutto il circuito. Nella fase di carica il circuito equivalente è un circuito serie formato da una batteria con fem, una resistenza in serie R e un induttanza L, quindi: La cui soluzione è una funzione crescente di tipo esponenziale simile a quella che si ottenne per la carica del condensatore. Sola differenza, qui quello che cresce è la corrente, nel condensatore cresceva la d.d.p.

Circuiti RL (2) La soluzione dell’equazione del circuito induttivo sarà analoga a quella del circuito capacitivo Quando poi il circuito potrà essere attaccato ad una resistenza senza batteria si realizzerà una condizione simile alla scarica di un condensatore carica di L scarica di L

Energia di un induttanza La legge di Kirchhoff ci dice che f.e.m. = iR + Ldi/dt. Se moltiplichiamo per i avremo i(f.e.m.) = i2R + Li di/dt dove i(f.e.m.) è l’energia che fornisce la batteria nel unità di tempo i2R è la potenza dissipata per effetto joule Li di/dt è la potenza accumulata in L f.e.m. R L

Densità di energia uC = ½ e0E2 La energia di una induttanza sarà completamente immagazzinata al centro di un induttore dove il campo magnetico è uniforme Ricordando che: L/l è l’induttanza per unità di lunghezza B = m0 i n uC = ½ e0E2

Mutua Induzione f.e.m. = - M21di/dt (f.e.m.)1 = - Mdi2/dt Come si calcola il fenomeno della mutua induzione? M21 è la induzione dovuto alla corrente 1 sulla bobina 2 e vale M21 = N2F21/i1 (simile alla L = NF/i ) ovvero M21 i1= N2F21. Se consideriamo la variazione di i nel tempo avremo: Legge di Faraday Se ripetiamo lo stesso procedimento scambiando la bobina 1 con la 2 avremo la stessa cosa quindi M21 = M12 = M f.e.m. = - M21di/dt (f.e.m.)1 = - Mdi2/dt (f.e.m.)2 = - Mdi1/dt

Energia nei circuiti LC Abbiamo visto come l’energia si immagazzina nei condensatori o nelle induttanze studiando i circuiti RC ed RL. La scala temporale della carica e della scarica è legato ad RC o RL tramite un esponenziale. Combinando un condensatore con una induttanza vedremo che la corrente e la differenza di potenziale variano sinusoidalmente con periodo T e pulsazione w.

Andamento dell’energia nei circuiti LC In un circuito LC conoscendo il valore di C e misurando VC ai capi del condensatore avremo C VC = q Allo stesso modo misurando la VR in un circuito con una piccola resistenza avremo VR = Ri la pulsazione di un circuito puramente induttivo-capacitivo è dato da w = 1/√LC Nei circuiti reali le oscillazioni non saranno infinite, ma si smorzeranno dopo un tempo t come succedeva per le oscillazioni meccaniche

Oscillazioni LC Un blocco collegato ad una molla ha un moto oscillatorio come la corrente in un circuito LC. E = Kb + Um = ½ mv2 + ½ kx2 E = EL + EC = ½ Li2 + ½ Q2/C La derivata della carica nel tempo è la corrente dq/dt = - wQsin(wt+f) dove wQ = I ampiezza massima e quindi i = - Isin(wt+f) e la pulsazione si ricava dalla derivata seconda ovvero d2/dt2 = - w2Qcos (wt+f) che sostituita nella quadrata da – Lw2 Qcos(wt+f)+1/C Qcos (wt+f) = 0 Lw2 = 1/C  w2 = 1/LC w = 1/√LC

Oscillazioni smorzate Se nel circuito LC ci sono dispersioni di tipo resistivo, cioè nel tempo l’energia non si conserva, ma tende a diminuire, perché per esempio si dissipa per effetto Joule, allora saremo in presenza di oscillazioni smorzate: E = EL + EC = 0 ovvero La cui soluzione è: q = Q e –Rt/2L cos(w’ t + f) con w’ =√w2 – [R/(2L)]2 . ovviamente w’ è minore di w, ma per R piccola tale che w’ ≈ w e sostituendo il valore di q nella EC = q2/2C avremo:

Corrente alternata Ci si chiede spesso: perché usare la corrente alternata? La velocità di deriva degli elettroni è 4 x 10-5 m/s se poi gli si inverte la direzione ogni centesimo di secondo ogni elettrone si sposterà al più 4 x 10-7 m, quindi gli elettroni non si spostano per più di un centinaio di atomi . La verità è che con una corrente alternata è possibile l’uso pratico della legge di Faraday (vedi figura). Facendo ruotare una spira in un campo magnetico la f.e.m. sarà f.e.m. = (f.e.m.)maxsin (wgt) con wg pulsazione. Questa pulsazione è quella generata dalla rotazione della spira e fornisce una corrente i = I sin (wgt – f) volendo si potrà usare la frequenza meccanica 2png = wg

Oscillazioni forzate Un circuito RLC è un circuito in cui è possibile avere oscillazioni periodiche della carica, della tensione o della corrente. La frequenza o meglio la pulsazione angolare è data da w = (LC)-2 e questa è la pulsazione del circuito. Esiste però anche la possibilità di imporre una frequenza estera al circuito, in questo caso come risponderà il circuito RLC e come risponderanno i singoli componenti alle frequenze oscillanti? Risponderemo studiando le risposte di tre semplici circuiti. Uno resistivo, uno capacitivo ed uno induttivo.