Processamento di segnali in logica fuzzy: applicazioni nella approssimazione di funzioni non lineari e nel filtraggio di immagini SAR. Candidata Arianna Mencattini Relatore Marcello Salmeri

Tipologie di rumore Rumore impulsivo Rumore impulsivo (disturbi elettromagnetici) Rumore additivo con distribuzione uniforme Rumore additivo con distribuzione uniforme (convertitori A/D) Rumore additivo con distribuzione gaussiana Rumore additivo con distribuzione gaussiana (fenomeni atmosferici) Rumore moltiplicativo con distribuzione gaussiana Rumore moltiplicativo con distribuzione gaussiana (immagini SAR)

Filtraggio Fuzzy Preprocessamento e struttura di una regola ¶ Viene utilizzato il “finestramento” dell’immagine da elaborare · Le variabili di ingresso utilizzate nel sistema fuzzy sono le luminanze dei pixel della finestra, relative al pixel centrale ( p c = SN ) then if pcpc pipi SP SN

Filtraggio Fuzzy if else SPSN ZE 1a)2a)3a)4a)5a)6a)7a) then if 1b)2b)3b)4b)5b)6b)7b) Insieme delle regole di base

SAR (radar ad apertura sintetica) simula un’apertura fisica muovendone una più piccola in un certo intervallo spaziale Speckle noise: rumore moltiplicativo nasce soprattutto per effetto dello scattering dell’oggetto Aspetto a “macchie” di una immagine con speckle noise - Random Walk bidimensionale - Densità di probabilità di Rayleigh Rumore nelle immagini SAR

tecniche wavelets (grossa complessità computazionale) altre tecniche: filtri di Lee, Kuan, Frost, ecc. filtri di Wiener Approcci attualmenti usati nel filtraggio: Filtraggio delle immagini SAR Risultati non soddisfacenti

Utilizzo di sistemi omomorfi Trasformazione del rumore moltiplicativo in additivo Principio di sovrapposizione generalizzato Es. con  1,  2 = 1

Sintesi della funzione logaritmo Approccio tabellare Tecniche classiche di approssimazione Altra soluzione possibile:

Differenti approcci fuzzy per la fase di defuzzificazione Utilizzo di funzioni di appartenenza di uscita “triangolari” Utilizzo di funzioni di appartenenza di uscita a singolo valore

x y A 0 A 1 A 2 A 3 ° b0b0 ° ° b3b3 b2b2 b1b1 Approccio Sugeno: idea dell’approssimazione Uscita del sistema fuzzyFunzione da approssimare Punti caratteristici (x i,,y i ) B3B3 B2B2 B1B1 B0B0

x y A 0 A 1 A 2 A 3 ° b0b0 ° ° b3b3 b2b2 b1b1 Approccio Mamdani: idea dell’approssimazione Punti caratteristici (x i,,y i ) B3B3 B2B2 B1B1 B0B0 Uscita del sistema fuzzyFunzione da approssimare

Regole fuzzy - Ho sovrapposizione di due sole funzioni di appartenenza alla volta - Per ogni ingresso al massimo due regole sono attivate Semplificazione dal punto di vista computazionale if (x is A i ) then (y is B i ) i = 1…n

Spezzata “interna”, “esterna” e media Spezzata esterna x y Spezzata interna ii out(i) xixi f(x i ) Abbiamo mediato i risultati delle due spezzate ottenendo risultati migliori

Passi dell’algoritmo di approssimazione - Determinazione della posizione ottima degli x i. x i x’ i x i+1 x’ i+1 x’ i Area da minimizzare - spezzata interna Minimizzazione di una funzione di n variabili Area da minimizzare - funzione a scala xixi Relazione diretta per trovare il vettore [x i ]

Passi dell’algoritmo di approssimazione Determinazione dei punti  i (connessi matematicamente agli x i ). Scelta della tipologia di funzioni di appartenenza da usare. Costruzione dei sistemi fuzzy: spezzata esterna e spezzata interna. Media, punto per punto, dei risultati ottenuti attraverso le due spezzate.

punti caratteristici Media delle spezzate: Sugeno con soli 11 punti su 255 l’errore è trascurabile Approssimazione della funzione log

approssimazione funzione obiettivo Intervallo di approssimazione Approssimazione della funzione sin Approssimazione con Sugeno con 11 punti caratteristici, metodo della media delle spezzate Ripetendo lo stesso procedimento si può approssimare un quarto di periodo della funzione ‘sin’.

SFDR (Spurius Free Dynamic Range) Approssimazione della funzione sin

Passi del filtraggio delle immagini SAR Trasformazione del rumore, da moltiplicativo in additivo. Uso della funzione logaritmo approssimata. Utilizzo di fattori di scala per risolvere il problema della perdita di colori.

Passi del filtraggio delle immagini SAR Il fattore di scala viene scelto come compromesso fra recupero totale dei colori e occupazione di memoria. Applicazione di un filtro fuzzy per rumore additivo. Scelta dei parametri delle funzioni di appartenenza in funzione di conoscenze a priori sull’intervallo di esistenza e sulla varianza del rumore. Informazioni ottenibili da un processo di stima del rumore

Passi del filtraggio delle immagini SAR Problema: E’ necessaria un’ulteriore fase di approssimazione per la funzione exp? Per approssimare f -1 (x), dato il sistema fuzzy che approssima f(x), basta invertire gli spazi di ingresso e di uscita di quest’ultimo. Applicazione della funzione exp per ritornare nello spazio di partenza.

- Metodo: Mamdani - Cascata di due filtri con finestre 3 x 3 e 5 x 5 - Numero di regole: (con l’ELSE) - Rumore: uniforme [-204,204] - Varianza: Rapporto degli ENL: (media 2 /varianza) Risultati del filtraggio: 1) Immagine filtrataImmagine originale Immagine degradata

Immagine filtrata Immagine originale Immagine degradata Confronto tra gli istogrammi

- Metodo: Sugeno - Filtro con finestra 5 x 5 - Numero di regole: 2 (con l’ELSE) - Rumore: uniforme [-204,204] - Varianza: Rapporto degli ENL: (media 2 /varianza) Risultati del filtraggio: 2) Immagine filtrataImmagine originale Immagine degradata

Immagine filtrata Immagine originale Immagine degradata Confronto tra gli istogrammi

Conclusioni Stima del rumore per la messa a punto del filtro fuzzy. Studio dell’approssimazione con i metodi di Sugeno e Mamdani. Calcolo diretto dei punti caratteristici. Studio delle funzioni log e sin. Sviluppo del metodo della doppia spezzata. Filtraggio fuzzy di immagini SAR.

Sviluppi Futuri Simulazione dei sistemi fuzzy tenendo in conto l’aritmetica finita. Generazione di un’approssimazione con derivata continua, soprattutto per applicazioni che necessitano di alta purezza spettrale. Sviluppo di sistemi fuzzy per la valutazione della “somiglianza” di due immagini, che rispetti il concetto di “somiglianza” dell’occhio umano. Ottimizzazione della posizione delle funzioni di appartenenza del filtro fuzzy, in funzione di conoscenze a priori sul tipo di rumore che viene applicato.