1 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Necessità di introduzione dei tensori  11  12  13  23  21  22 Vogliamo descrivere in un modo che abbia validità generale lo stato tensionale intorno un punto P Possiamo immaginare di costruire intorno al punto P un parallelepido infinitesimo e di esprimere su ogni faccia lo sforzo come somma delle tre componenti dirette secondo gli assi del sistema di riferimento

2 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Necessità di introduzione dei tensori lo sforzo complessivo può essere dunque indicato con il seguente oggetto, chiamato tensore degli sforzi (o stress):. tre componenti del vettore sforzo descritte da nove componenti del tensore degli sforzi  ≡ 

3 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto sforzo Il primo pedice indica la superficie attraverso la direzione normale alla stessa Il secondo pedice la direzione lungo la quale lo sforzo è diretto x y z  zy Gli sforzi in genere si indicano con  oppure  solidi fluidi

4 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Rappresentazione dei tensori (matrice) Una modalità di rappresentazione di un tensore si ottiene ordinando le componenti in una tabella di tre righe e tre colonne Un tensore viene indicato in genere con una lettera maiuscola Nello spazio a 3D un tensore può essere rappresentato da un insieme ordinato di 9 scalari le componenti del tensore

5 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Rappresentazione dei tensori (somma componenti) Il tensore può essere rappresentato come somma di nove elementi (le componenti del tensore) ad ognuno dei quali viene associata una coppia di versori della terna di riferimento notazione di Einstein

6 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Diade Si definisce diade un tensore le cui componenti sono costituite da coppie ordinate delle componenti di due vettori. Ad esempio se ho due vettori v e w La diade rappresenta quindi una sottoclasse dei tensori Il prodottoè indicato come prodotto diadico vengono indicati come unità diadica

7 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Calcolo tensoriale Uno dei principali aspetti del calcolo tensoriale è lo sviluppo sistematico di notazioni formali che consentano di rendere compatta la descrizione di operazioni, trasformazioni, proprietà... che coinvolgono i tensori somma di tensori prodotto di uno scalare per un tensore prodotto scalare di un vettore per un tensore prodotto scalare di due tensori doppio prodotto scalare di due tensori prodotto vettoriale di un vettore per un tensore Operazioni

8 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Operazioni tra tensori - Somma La somma di due tensori è un tensore che ha come componenti la somma delle componenti dei due tensori addendi tensore del secondo ordine Il vettore si definisce tensore del primo ordine

9 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Somma tra tensori come matrici In forma di matrice si ha:

10 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Somma tra tensori (somma componenti) Scrivendo i tensori come somma delle componenti si ha

11 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Operazioni tra tensori - Somma Proprietà Associativa Commutativa Esiste l’elemento neutro Esiste l’elemento opposto

12 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Operazioni tra tensori – Prodotto con scalare Il prodotto di un tensore per uno scalare è un tensore che ha come componenti il prodotto delle componenti del tensore per lo scalare tensorescalare tensore

13 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Operazioni tra tensori – Prodotto con scalare In forma di somma delle componenti In forma di matrice

14 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tensore vettore Il prodotto scalare di un tensore per un vettore da come risultato un vettore vettoretensore vettore Operatore lineare che trasforma un vettore in un altro vettore attraverso un prodotto scalare definizione di tensore

15 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tensore vettore In forma di matrice prodotto scalare  righe per colonne notazione di Einstein come matricecome somma delle componenti

16 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tensore vettore Esprimendo il tensore come somma di 9 componenti associate alle coppie di versori il prodotto scalare risulta Stesso risultato di prima Utilizzando la notazione di Einstein si ha: se i=j se i≠j delta di kronecker

17 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare vettore tensore In forma di matrice prodotto scalare  righe per colonne Non gode quindi della proprietà commutativa a differenza del prodotto scalare tra vettori Diverso da quello ottenuto in precedenza per

18 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tra due tensori Il prodotto scalare tra due tensori è un tensore tensore Le componenti del tensore risultante si ottengono effettuando un prodotto righe per colonne

19 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tra due tensori In forma di matrici:

20 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tra due tensori In forma di somma di componenti: notazione Einstein

21 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tra due tensori a differenza del prodotto scalare tra vettori questo non gode della proprietà commutativa. Infatti diversi!

22 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto scalare tra due tensori Avendo trovato che Significa che la componente il del tensore risultante (C) è Ad esempio

23 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Doppio prodotto scalare Si può definire il doppio prodotto scalare tra tensori che è uno scalare. tensore scalare Simbolo del doppio prodotto scalare Si utilizza ad esempio nell’equazione di bilancio dell’energia meccanica per il calcolo del termine che esprime la conversione irreversibile dell’energia cinetica in energia interna o termica (dissipazione viscosa)

24 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Prodotto vettoriale tensore vettore Il prodotto vettoriale di un tensore per un vettore da come risultato un tensore La componente il del tensore risultante è quindi indice di permutazione

25 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Schema di sintesi delle operazioni con i tensori Si può formulare una semplice regola per memorizzare le operazioni: Si prende il prodotto scalare o vettoriale dei due versori più vicini al simbolo dell’operazione (quelli sui due lati del simbolo) e si mette tra parentesi. Gli altri versori vanno a moltiplicare Esempio: Introducendo il delta di Kronecker se i=jse i≠j

26 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Schema di sintesi delle operazioni con i tensori Introducendo il delta di Kronecker Altro esempio: prodotto scalare tra 2 tensori

27 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Schema di sintesi delle operazioni con i tensori Nel caso del doppio prodotto scalare l’operazione si ripete 2 volte prima con quelli vicini poi con quelli lontani Introducendo il delta di Kronecker

28 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Schema di sintesi delle operazioni con i tensori Utilizzando le unità diadiche è possibile costruire il seguente schema utile per memorizzare le operazioni con i tensori Doppio prodotto scalare T T Prodotto scalare T v Prodotto scalare T T Prodotto vettoriale T v

29 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore nullo Esiste il tensore nullo (0) che ha le seguenti proprietà Il tensore nullo ha tutte le componenti nulle

30 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore unità Il tensore unità (I) restituisce inalterato il vettore o tensore su cui opera scalarmente In termini di componenti il tensore unità è esprimibile come Come matrice

31 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore unità Infatti se facciamo il prodotto scalare quindi

32 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore isotropo Si definisce tensore isotropo un tensore ottenuto dal prodotto del tensore unità per uno scalare (  )

33 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore isotropo Il prodotto scalare di un tensore isotropo per un vettore (b) trasforma il vettore (b) in un altro vettore (c) avente: stessa direzione di b verso uguale (  >0) opposto (  <0) a b modulo pari al prodotto del modulo del vettore b per lo scalare

34 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore trasposto Dato un tensore A si definisce tensore trasposto di A tale che risulta

35 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore trasposto Verifichiamo che Facciamo il prodotto scalare usando la notazione matriciale (il prodotto è righe per colonne) Vettore riga si potrebbe definire come vettore trasposto del vettore colonna

36 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore trasposto Si verifica che

37 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore inverso Se il tensore A opera sul vettore b di modo che Si definisce tensore inverso A -1 quello che trasforma c in b Si dimostra che Il tensore inverso esiste solo se

38 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore simmetrico e antisimmetrico Si definisce simmetrico un tensore uguale al suo trasporto Deve essere Per un tensore simmetrico Tensore simmetrico

39 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Tensore simmetrico e antisimmetrico Si definisce antisimmetrico un tensore per cui

40 Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto Parte simmetrica e antisimmetrica di un tensore Ogni tensore può essere scomposto in una parte simmetrica ed una antisimmetrica parte simmetricaparte antisimmetrica