1 I calcoli proporzionali e percentuali

I Rapporti e le proporzioni Si dice rapporto tra due numeri il quoziente tra il primo e il secondo. Ad esempio, il rapporto tra 10 e 5 si esprime: 10 : 5 oppure 10 o anche 10/5 5 Si dice proporzione l’uguaglianza tra due rapporti: 10 : 5 = 8 : 4 oppure 10/5 = 8/4 2

Consideriamo i seguenti rapporti: 10 : 5 = 8 : 4 E’ una proporzione perché il rapporto tra il primo e il secondo: 10 : 5 =2 E’ uguale al rapporto tra il terzo e il quarto: 8 : 4 = 2 3

Terminologia Data la proporzione 10 : 5 = 8 : 4 10 e 4 si dicono estremi 5 e 8 si dicono medi 10 e 8 si dicono antecedenti 5 e 4 si dicono conseguenti 4

Proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi Verifichiamola con la nostra proporzione 10 : 5 = 8 :4 10 x 4 = 40 5 x 8= 40 5

Conseguenze della proprietà fondamentale E’ possibile determinare uno dei quattro termini se si conoscono gli altri tre Infatti, data la seguente proporzione: A : B = C : D 6

1. Se il termine incognito è un estremo, per trovarlo si esegue il prodotto dei medi e si divide il risultato per l’altro estremo B x CB x C A =D = DA Conseguenze della proprietà fondamentale 7

2. Se il termine incognito è un medio, si effettua il prodotto degli estremi e si divide il risultato per l’altro medio A x DA x D B =C = CB 8

EsempiEsempi EsempiEsempi Data la seguente proporzione 15 : 81 = 25 = x x = 81 x 25/15 = 135 e la seguente 85 : 17 = x : 54 x = 85 x 54/17 = 270 9

Proporzionalità diretta e inversa  Due grandezze variabili e dipendenti tra loro sono direttamente proporzionali quando diventando l’una doppia, tripla, quadrupla, ecc. anche l’altra diventa doppia, tripla, quadrupla.  Due grandezze variabili e dipendenti tra loro sono inversamente proporzionali quando diventando l’una doppia, tripla, quadrupla, ecc. l’altra diventa la metà, un terzo, un quarto, ecc. 10

Problemi del tre semplice diretto Acquistando 48 lattine di olio d’oliva, un commerciante ha pagato € 96,00. Quanto avrebbe pagato se avesse acquistato 125 lattine? 1°procedimento Si può impostare la proporzione in modo che il primo antecedentesia della stessa specie del secondo antecedente, e quindi analogamente il primo conseguente sia della stessa specie del secondo conseguente. Avremo quindi: quantitàspesa 48ac96 125acx 11

E la proporzione: 48 quantità :96=125:x spesaquantitàspesa Risolvendo la proporzione si ottiene: x = 96 x125/48 = € 250,00 somma spesa 2°procedimento Si può impostare la proporzione in modo taleche i primi due termini siano della stessa specie e allo stesso modo il terzo e il quarto siano tra loro della stessa Specie. Avremo quindi: spesa 96 quantità 48aa 125cc x 12

E la proporzione: 48:48:125=96:x quantità spesa Risolvendo la proporzione si ottiene: x = 125 x 96/48 = € 250,00 somma spesa 13

Problemi del tre semplice inverso Una strada può essere costruita in 60 giorni da una squadra di 15 operai. Se venissero utilizzati 20 operai in quanti giorni potrebbe essere terminata? Per impostare correttamente la proporzione occorre ricordare che il secondo Rapporto deve essere invertito rispetto al primo. Cioè i primi due termini Devono essere della stessa specie, pure il terzo e il quarto devono essere della stessa specie ma presi in ordine inverso. Avremo così: operai 15a c giorni 60 20c20cax 14

Problemi del tre semplice inverso E la proporzione: 15:20 operaioperai =x:60giorni Da cui: x = 15 x 45/20 = 45 giorni 15

E adesso prova tu! Un’azienda produce 400 pezzi al giorno impiegando 50 operai. Se la produzione venisse aumentata a 600 pezzi al giorno quanti opeai occorrerebbero? (R. 75) Per costruire un muro sono stati utilizzati 6 operai che hanno lavorato per 24 giorni. Quanto tempo sarebbe occorso se gli operai fossero stati 8? (R. 18) La spedizione di una 150 tonnellate di merce è costata € Quanto costerebbe la spedizione di 120 tonnellate? (R ) Una merce è stata trasportata con un furgone che ha percorso km 270 in 4 ore ad una media di 70 km/h. Quanto tempo avrebbe impiegato a percorrere la stessa distanza se avesse tenuto una media di 80 km/h? (R. 3,5) 16

Calcolo percentuale

Calcoli percentuali  Una percentuale indica quante unità di una certa grandezza corrispondono a 100 unità di un’altra grandezza  La percentuale viene espressa con un numero e con il simbolo %  Ad esempio se l’IVA sulle auto è del 20% significa che ogni 100 euro di valore dell’auto si dovranno pagare 20 euro di IVA 18

Calcoli percentuali I calcoli percentuali si eseguono impostando e risolvendo una proporzione. Così se indichiamo con: S = somma sulla quale si calcola la percentuale P = valore percentuale totale (percento) r =ragione o tasso o aliquota percentuale Otteniamo la seguente proporzione: 100 : r = S : P Da cui, conoscendo due dei tre termini, cioè S, P, r, si può trovare quello Incognito. 21

Problemi diretti In tali problemi si conoscono la somma sulla quale deve essere calcolata la percentuale (S) e la ragione (r). E’ incognito il valore percentuale (P). ESEMPIO Una partita di mele contenuta in cassette di legno ha un peso lordo di 250 kg. La tara (cassette di legno) corrisponde al 2% del peso lordo. Calcolare la tara. P = x I dati del problema sono: r = 2%S = 250 La proporzione si presenterà così: 100 : 2 = 250 : xdovex = 2 * 250/100 = 5 Kg di tara 22

Problemi inversi In tali problemi si conosce il valore percentuale (P) e, oltre da esso, uno degli altri due termini: S (somma sulla quale deve essere calcolata la percentuale), oppure r (ragione o aliquota o tasso percentuale). ESEMPIO 1 Durante il trasporto via mare una partita di merce del peso di 120 quintali ha assorbito umidità ed ha subito un aumento di peso di q. 1,2. Qual è stata la percentuale di aumento? Proporzione Dati problema r = x incognita S = 120 q. 100:r 100:x ==== S: 120: P 1,2 P = 1,2 q.da cui otteniamo: X = 100 * 1,2/12 0 = 1% perce ntuale di aumento 23

Problemi inversi ESEMPIO 2 Su un orologio acquistato per un regalo abbiamo pagato un Imposta sul Valore Aggiunto di € 90 pari al 20% del prezzo di acquisto dell’orologio. Qual è stato il prezzo di acquisto dell’orologio? pezzo di acquisto Dati del problemaProporzione r = 20%100:r=:r=S:S:P S = x incognita P = 90 euro100:20= Da cui otteniamo: X = 100 * 90 x:90 /20 = €

E ora prova tu! In una partita di merce del peso lordo di quintali 180 la tara corrisponde al 5% del peso lordo. Determinare la tara (peso dell’imballaggio) e il peso netto (R. 9; 171). Per assicurare l’arredamento di un alloggio contro il rischio di furto occorre pagare lo 0,85% del valore assicurato. Calcolare l’importo da pagare nel caso che l’arredamento dell’alloggio si valutato complessivamente a € ,00 (R. 161,50). 25

E ora prova tu! Un rappresentante di commercio percepisce mensilmente la provvigione del 6% sugli affari conclusi. Determinare il volume degli affari effettuati nel mese di ottobre sapendo che gli è stato liquidato il compenso di € 2.400,00 (R ). Abbiamo acquistato un motorino del prezzo di listino di € 2.800,00. Sapendo che sul prezzo di listino abbiamo ottenuto uno sconto di € 175,00, calcolare la percentuale di sconto che il rivenditore ci ha concesso (R. 6,25%) 26

I calcoli sopra cento  Vengono applicati nei problemi in cui il valore della percentuale (P) deve essere sommato alla somma (S) sulla quale essa è stata calcolata e la ragione percentuale (r) deve essere sommata a 100.  Per eseguire calcoli sopra cento occorre riprendere la proporzione fondamentale: 100:r=S:P 27

 Secondo la proprietà del comporre, puo’ essere ricavata la seguente proporzione: 100 :(100 + r)=S:(S + P) I simboli della proporzione hanno questo significato: (100+r) = cento aumentato della ragione percentuale S = somma sulla quale viene calcolato il valore percentuale (P) (S+P) = somma aumentata del valore della percentuale I calcoli sopra cento 28

Esempio sopracento diretto Un’impresa acquista una merce al prezzo di € 12,50 il chilogrammo. Determiniamo il prezzo di vendita sapendo che l’impresa vuole ottenere un guadagno pari al 20% del costo d’acquisto. Ricordiamo la proporzione:100 : (100+r) = S : (S+P) Dove: (100+r) = 120S = 12,50(S+P) = x Sostituendo:100 : 120 = 12,50 : x X = 120*12,50/100 = € 15,00prezzo di vendita della merce I problemi di calcolo del sopra cento sono chiamati diretti quando si vuole trovareil valore di S+P 29

Esempio sopracento inverso Il peso lordo di una merce è di kg 28,56, mentre la tara è pari al 2% del peso netto. Determiniamo il peso netto della merce e il peso dell’imballaggio. Ricordiamo la proporzione: 100 : (100+r) = S : (S+P) dove: (100+r) = 102S = x(S+P) = 28,56 sostituendo:100 : 102 = x : 28,56 x = 100*28,56/102 = kg 28 peso netto Kg (28,56 – 28) = 0,56 kg tara I problemi di sopra cento sono inversi quando il valore conosciuto è (S+P) e vogliamo individuare le parti che lo compongono, cioè S e P. 30

I calcoli sotto cento  Per eseguire i calcoli sotto cento occorre applicare la proprietà dello scomporre delle proporzioni: 100:(100 – r)=S:(S - P) Significato dei simboli: (100 – r) = cento diminuito della ragione percentuale S = somma sulla quale viene calcolato il valore della percentuale (S – P) = somma diminuita del valore della percentuale 31

Esempio di sottocento diretto Durante il trasporto una merce che avevain partenza il peso di 350 kg ha subito un calo del 3% Determiniamo il peso della merce all’arrivo. Ricordiamo la proporzione:100:(100 – r)=S:(S-P) Dove: (100-r) = 97S = 350 kg(S – P) = x Sostituendo:100:97=350: x x = 97*350/100 = kg 339,5peso della merce all’arrivo I problemi di calcolo sotto cento sono diretti quando si vuole determinare il valore di (S – P). 32

Esempio di sottocento inverso A fine stagione un negozio di abbigliamento espone in vetrina un completo da uomo a € 195,00 scontato del 25%. Determiniamo il prezzo di listino dell’abito. 100:(100 – r)=S:(S – P) Dove: (100 – r) = 75 S = x(S – P) = 195,00 Sostituendo:100 : 75 = x : 195 x = 100*195/75 = € 260,00prezzo di listino I problemi del sotto cento sono inversi quando si vuole determinare il valore di S e P. 33

E adesso prova tu! Una merce che alla partenza pesava quintali 650, durante il trasporto ha subito un calo del 4%. Determinare la quantità arrivata (R. 624 q). Abbiamo acquistato un cellulare pagandolo € 320,00, dopo aver ottenuto dal negoziante lo sconto del 20%. Calcolare il prezzo di listino (R. € 400,00). Una merce acquistata a € 180,00 viene venduta con un guadagno del 30% sul prezzo di acquisto. Determinare il prezzo di vendita (R. € 234,00). Una merce acquistata a € 360,00 viene venduta con un guadagno del 20% sul prezzo di vendita. Calcolare il prezzo di vendita (R. € 450,00). 34