Logica 16-17 Lezz. 13-15

Lez. 13 7 Nov. 2016

nota su "a meno che" A meno che (non) = oppure Il dolce lo porto io (I) a meno che (non) lo porti Mario (M) I  M  I  M I  M la negazione è pleonastica, paragonare a: "non ho detto niente" = "non ho detto alcunché"

Cap. 4 - Il calcolo proposizionale Nota sull'uso della parola "calcolo" Verranno usate le regole riassunte nella tabella 4.2 a p. 118

Esercizio risolto 4.1 Soluzione Dimostrare: P → (Q → R), P, Q |– R La prima premessa è un condizionale il cui antecedente è negato e il cui conseguente è a sua volta un condizionale. La riga 2 contiene l’antecedente. Perciò la derivazione del suo conseguente alla riga 4 è chiaramente un esempio di eliminazione del condizionale, così come il passo dalle righe 3 e 4 alla riga 5.

Esercizio risolto 4.3 Soluzione Dimostrare: P & Q |– Q & P L’ordine con cui otteniamo i due congiunti dalla congiunzione iniziale mediante &E è indifferente. Avremmo anche potuto scrivere ‘Q’ alla riga 2 e ‘P’ alla 3. Cìò avrebbe comunque consentito l’applicazione di &I per ottenere la conclusione alla riga 4

condizionale, congiunzione e disgiunzione Abbiamo visto la regola di eliminazione del condizionale (MP). Quella di introduzione è più complicata e la vedremo in seguito abbiamo visto le regole di eliminazione e introduzione della congiunzione. Adesso passiamo alle regole sulla disgiunzione

Intro della disgiunzione Per la regola di introduzione della disgiunzione guardiamo insieme dal libro l'esercizio 4.6, p. 97

Eliminazione della disgiunzione Idea di fondo: Se ho P v Q e posso derivare R sia da P che da Q, allora posso asserire R Vediamo la regola all'opera nel prossimo esempio

(P  Q) & (P  R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Esercizio risolto 4.9 Dimostrare: (P  Q) & (P  R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Soluzione

Lezione 14 8/11/16

Consideriamo alcune "banalità"

Esercizio risolto 4.5 Dimostrare: P |– P & P Soluzione

Esercizio risolto 4.7 Dimostrare: P |– P  P Soluzione

Esercizio risolto 4.11 Dimostrare: P ↔ Q |– Q ↔ P Soluzione

Introduzione del condizionale Questa è una regola "ipotetica" Impariamola studiando insieme l'esercizio 4.12 p. 101

Esercizio risolto 4.15 Soluzione Dimostrare: (P & Q) → R |– P → (Q → R) Soluzione Ipotizziamo l’antecedente ‘P’ della conclusione alla riga 2. Per derivare il conseguente, cioè ‘Q → R’, ipotizziamo l’antecedente ‘Q’ di questo condizionale alla riga 3. Dato che questa è una nuova ipotesi, è richiesta una nuova linea verticale. Abbiamo ora assunto due ipotesi. Deriviamo ‘R’ da ‘Q’ alla riga 5. Ciò ci permette di scaricare l’ipotesi ‘Q’ e inferire ‘Q → R’ per →I alla riga 6. Abbiamo ora mostrato che ‘Q → R’ segue dalla nostra ipotesi originaria ‘P’. Quest’ipotesi rimane in vigore fino a che non la scarichiamo e inferiamo la conclusione voluta mediante un’altra applicazione di →I alla riga 7.

Introduzione della negazione (dimostrazione per assurdo) guardare esempi pp. 105-106: 4.18, 4.19, 4.20 Refusi nell'es. 4.19: salta il 5 nella numerazione delle righe e la linea verticale dovrebbe partire dalla riga 2.

Lezione 15 10/11/16

Esempio 4.21 p. 106 Questo esempio, oltre a mostrare l'uso della regola di intro della negazione, illustra una strategia: se abbiamo a disposizione una disgiunzione, tipicamente è utile cercare di dimostrare che entrambi i disgiunti implicano la conclusione desiderata. In questo caso, cerchiamo di ottenere questa conclusione con la regola di intro della neg.

Esercizio risolto 4.23 (vedi anche slide successiva aggiunta dopo la lezione) Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Soluzione

Esercizio risolto 4.23 (slide aggiunta dopo la lezione per chiarire ancora meglio la strategia seguita) (P & Q) |– P  Q Strategia: dimostriamo per assurdo e quindi ipotizziamo; (1)  (P  Q) Per ottenere una contraddizione cerchiamo di dimostrare l'opposto della nostra premessa, ossia P & Q Dobbiamo quindi dimostrare una congiunzione. Per farlo, dobbiamo dimostrare entrambi i congiunti: P, Q Ma come? Per assurdo, ossia prima ipotizzando P , poi Q In entrambi i casi , grazie alla regola I ottengo una contraddizione

Strategie dimostrative (1) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è atomica, o comunque non è una negazione, ipotizzare la negazione della conclusione, tipicamente al fine di ottenere la sua doppia negazione tramite ∼I; quindi applicare ∼E. (2) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è una negazione: assumere per ipotesi la conclusione senza il segno di negazione per ottenere una contraddizione; quindi applicare ∼I. (3) Per dimostrare una congiunzione: dimostrare ciascuno dei congiunti separatamente e poi congiungerli mediante &I.

Strategie dimostrative (ii) (4) Per dimostrare una disgiunzione: provare a derivare uno dei disgiunti per applicare vI. Se questa strategia fallisce, ragionare per assurdo, comportandosi come nel caso delle fbf atomiche; cioè assumere la negazione della conclusione e poi applicare ∼I e ∼E. (5) Per dimostrare una condizionale: ipotizzare l’antecedente e derivare il conseguente, poi applicare →I. (6) Per dimostrare una bicondizionale: usare →I due volte per dimostrare i condizionali necessari a ottenere la conclusione per ↔I.

Strategie dimostrative (iii) Aggiungerei: se tra le premesse è disponibile una disgiunzione P v Q e bisogna dimostrare C, provare a dimostrare sia P → C che Q → C e poi applicare vE

Sommario delle 10 regole di base Guardare insieme la tabella riassuntiva 4.2 a p. 118

ESAME INTERMEDIO Proviamo a ipotizzare una data Le domande del primo esame scritto vertono sulla logica proposizionale e sono di due tipi: (1) traduzione di semplici enunciati in italiano nel linguaggio della logica proposizionale; (2) utilizzazione del metodo delle tavole di verità o degli alberi di refutazione per valutare enunciati o argomentazioni. Gli esercizi di traduzione saranno ripresi dagli esercizi per casa o da esempi fatti in classe