Economia Applicata Lezione 16 Bertrand- Cournot- Stackelberg Prof. Giorgia Giovannetti giorgia.giovannetti@unifi.it Giorgia Giovannetti 1 1

w1 martedi 28 Intro giovedi 2   Intro, elasticitá w2 7 Il concetto di mercato, esempi 9 richiami micro, curve dei costi w3 14 Domanda, equilibrio di mercato, statica comparata, curve dei costi 16 Curve dei costi, forme mercato: concorrenza, monopolio w4 21 ESERCIZI concorrenza, monopolio, curve dei costi, ricavi 23 forme di mercato: concorrenza imperfetta e economia del benessere w5 esercizi su forme di mercato 30 forme di mercato concorrenza imperfetta e oligopolio w6 4 Oligopolio, curva di domanda ad angolo, benessere 6 Benessere Introduzione teoria dei giochi, w7 11 Primo compito 13 Vacanza pasqua w8 18 20 Soluzioni compito w9 25 vacanza 27 giochi Bertrand, Cournot, Stackelberg w10 giochi ripetuti, nozioni Giochi e oligopolio fine w11 Esercizi giochi Investimenti pubblici e privati w12 investimenti e incertezza investimenti analisi costi benefici w13 esercizi su investimenti Q&A w14 Lezione su crisi 1 esempi acqua e terra w15 secondo compito 8

Outline di oggi Bertrand versus Cournot Qualcosa in più su eq. Stackelberg Riassunto giochi Esercizi su giochi e oligopolio

Bertrand versus Cournot Pur partendo da ipotesi abbastanza simili, i due modelli arrivano a conclusioni drasticamente diverse, che possono forse essere viste con chiarezza facendo riferimento a un semplice esempio. Confrontiamo anche con ll caso del monopolio (i.e. quello cooperativo): le due imprese si coalizzano e si comportano come un unico monopolista spartendosi i profitti.

ESEMPIO 2 imprese i, j, con: p = 6 – (xi + xj) ci = 1 + xi cj = 1 + xj Bertand versus Cournot Oligopolio (Cournot) 2 imprese i, j, con: p = 6 – (xi + xj) ci = 1 + xi cj = 1 + xj Monopolio p = 7/2 x*i = x*j = 5/4 *i = *j = 2,125 Oligopolio (Bertrand) p = 1 x*i = x*j = 5/2 *i = *j = 0 Pur partendo da ipotesi abbastanza simili, i due modelli arrivano a conclusioni drasticamente diverse, che possono forse essere viste con chiarezza facendo riferimento al semplice esempio già introdotto. Il caso del monopolio non è stato introdotto esplicitamente però è quello cooperativo: le due imprese si coalizzano e si comportano come un unico monopolista spartendosi i profitti. Il modello di Cournot produce un livello di prezzi più basso del monopolio, ma più elevato di quello di perfetta competizione. Il modello di Bertrand pone i prezzi al costo marginale, e quindi i profitti si annullano. Le quantità prodotte, ovviamente, crescono al ridursi del prezzo. Quale dei due modelli è più realistico? (Parliamo di realismo non con riferimento alla semplice formulazione introdotta, ma dal punto di vista delle ipotesi sul comportamento strategico delle imprese: la variabile strategica è il prezzo o la quantità?) Alcuni limiti sono comuni ai due schemi: la staticità e l’assunzione di omogeneità dei prodotti. Invece, un limite tipico del modello di Bertrand è l’assunzione implicita che, dopo aver fissato il prezzo, l’impresa sia in grado di far fronte a qualunque livello di domanda risulti dal mercato. In altri termini, ciò corrisponde a dire che operiamo senza limiti di capacità.

Cournot versus Bertrand L’equilibrio di Cournot corrisponde a scegliere la quantità che porta al massimo profitto. Secondo Bertrand non può essere un equilibrio, perché ogni impresa potrebbe vendere più unità con una riduzione piccolissima del prezzo e aumentare così i propri profitti. Quindi il meccanismo di concorrenza di Bertrand spinge il prezzo verso il basso. Però, se c’è un vincolo di capacità e nessuna impresa può produrre più di x unità, l’impresa j può benissimo produrre x-1 unità al prezzo di Cournot anche se l’altra si colloca al massimo della propria capacità produttiva. In queste condizioni nessun prezzo può essere di equilibrio.

Bertrand versus Cournot Se capacità e livello di output possono essere variate “facilmente”, allora le imprese scelgono prima il livello del prezzo (Bertrand). Se capacità e livello di output possono essere variate solo nel lungo periodo, allora le imprese scelgono prima il livello di output (Cournot). La decisione fondamentale che le imprese devono prendere riguarda le variabili che possono essere modificate solo nel lungo periodo. Se la capacità produttiva costituisce una decisione di periodo più lungo rispetto a quella sul prezzo, allora le imprese scelgono prima il livello di output (Cournot). Se la scelta della capacità produttiva è di breve periodo rispetto a quella sul prezzo, le imprese fissano prima il prezzo (Bertrand). Molti settori del mondo reale sembrano più vicini al caso in cui la capacità è più difficile da variare, o comunque richiede tempi lunghi (esempi: frumento, cemento, automobili, acciaio, computers). Nell’agosto del ’99 la Sony ridusse il prezzo della sua playstation di quasi il 25%. Un’ora dopo la diffusione della notizia, la Nintendo effettuava una analoga riduzione sulla propria piattaforma. Il pricing aggressivo di Sony e Nintendo comportò un aumento della domanda, con conseguente difficoltà delle aziende, soprattutto Nintendo, a rifornire i distributori. Possiamo trarre la conclusione che per l’industria dei videogiochi la capacità è più difficile da variare, quindi Cournot è una migliore approssimazione. Ci sono settori in cui la capacità può essere variata con facilità (banche, assicurazioni, software. NB: la differenziazione e le esternalità di rete possono giocare però qui un ruolo importante!). Bertrand sembra allora essere una migliore approssimazione. Esempio: enciclopedie. Enciclopedia Britannica è stata per quasi due secoli uno standard. Fino ai primi anni ’90 veniva venduta per diversi milioni in tutto il mondo ($1600). Poi Microsft ha introdotto Encarta, venduta su Cd ad un 200.000 lire circa). Risposta immediata, ora si comprano entrambe per 100.000Lit. E’ un prezzo ancora lontano dal costo marginale (il valore del CD), ma è certo più vicino del prezzo da monopolista della Britannica.

L’equilibrio di Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y.

Stackelberg NOTA Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione del lucido 240. Questa formula è y1 = (a - c)/2 - y2/2 Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn. Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di domanda p = a - y. 14

Giochi- summary

Dilemma del prigioniero Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono detenute in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice avrà una pena di 10 anni di reclusione. Se entrambe confessano saranno condannate a una pena intermedia di 2 anni. Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.

Dilemma del prigioniero L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs Louise Nega Accusa Thelma 1 , 1 10 , 0 0 , 10 5 , 5 Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale O.P Nash

Dilemma del prigioniero Accusa è la strategia dominante per entrambe Louise Nega Accusa Thelma 1 , 1 10 , 0 0 , 10 5 , 5

Dilemma del prigioniero  framework generale Le fattispecie di questo tipo sono molto diffuse nel mondo reale Gioco del lavoro di gruppo a scuola Lapo e Alice devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutati congiuntamente L’insegnante non può valutare chi ha fatto cosa), ma devono lavorare separatamente

Dilemma del prigioniero Gioco del lavoro di gruppo Ipotesi Entrambi partono da una valutazione di 2 (parte del compito già svolta) Lavorare stanca (entrambi giudicano lavorare come perdere 4 punti) Se entrambi lavorano otterranno il punteggio massimo, 6 punti, il punteggio netto (tenendo conto di a) e b) sarà 2+6–4 = 4; Se entrambi non lavorano non guadagnano punti aggiuntivi, il punteggio è 0; il punteggio netto sarà 2+0-0 = 2 Se uno solo lavora ottengono solo 3 punti e il punteggio netto sarà 2+3-4 = 1 per quello che lavora 2+3 = 5 per quello che non lavora

Dilemma del prigioniero  framework generale Gioco del lavoro di gruppo Lapo e Alice devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutati congiuntamente Lapo L NL Alice 4, 4 1 , 5 5, 1 2 , 2

Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash possibili soluzioni Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero Meccanismi istituzionali Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi Se il gioco viene ripetuto Meccanismi endogeni accordo fra i giocatori

In questo gioco ci sono due equilibri di Nash (M,C) e (B,R)

In TL rispetto ai due equilibri di Nash, la situazione di ognuno dei giocatori è migliorata. Si dice che gli equilibri di Nash possono non essere ottimi paretiani (in questo esempio non lo sono).

Cosa succede se questo gioco è ripetuto, due volte di seguito

Un patto esplicito: I giocatori si accordano per giocare TL in entrambi i periodi. Vi accorgete che, fatto l’accordo a entrambi converrebbe tradire?

Nel secondo periodo (l’ultimo) il gioco si ripresenta con tutti i guai dell’interazione strategica: conviene tradire, ma sapendolo, si arriva a giocare M,C. Nel gioco ripetuto, la seconda volta l’accordo non può essere mantenuto.

Dunque non ci si può accordare per due periodi. Ma si può fare un accordo, CERCANDO IN ANTICIPO LA STRATEGIA DI EQUILIBRIO DA SEGUIRE, con una minaccia, perché almeno nel primo si giochi l’ottimo paretiano T,L Accordo sostenibile: il giocatore 1 gioca T nel primo periodo, e M nel secondo. Se il giocatore 2 gioca C nel primo periodo per guadagnarci, nel secondo periodo il giocatore 1 lo punirà giocando B il giocatore 2 gioca L nel primo periodo, e C nel secondo. Se il giocatore 1 gioca M nel primo periodo per guadagnarci, nel secondo periodo il giocatore 2 lo punirà giocando R

Primo caso: l’accordo è rispettato “1” gioca T e “2” gioca L, poi “1” gioca M e “2” gioca C. Guadagni: “1” = 5+4 “2”=5+4

Secondo caso: “1” gioca T ma “2” gioca C, poi “1” gioca B, per punirlo, e “2” gioca R. Guadagni: “1” = 3+1 “2”=6+1 “2”, punito, ci rimette (6+1<5+4)

DUBBIO: ma non converrebbe a “1” punire giocando M? Risposta: non sarebbe una punizione, infatti con un patto del genere “2” guadagnerebbe 6+4 = 10 > 5+4

Terzo caso: “1” tradisce e gioca M, “2” gioca L, poi “2” gioca R, per punirlo, e “1” gioca B. Guadagni: “1” = 6+1 “2”=3+1 “1”, punito, ci rimette (6+1<5+4)

DUBBIO: ma non converrebbe a “2” punire giocando C? Risposta: non sarebbe una punizione, infatti con un patto del genere “1” guadagnerebbe 6+4 = 10 > 5+4

ALTRO DUBBIO: CHI PUNISCE CI RIMETTE: QUI CI RIMETTE 2 CHE OTTIENE 3+1 = 4 RICORDARSI CHE LA PUNIZIONE E’ AUTOMATICA, E NON SARA’ OGGETTO DI DECISIONE

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti Prendiamo il gioco della del lavoro di gruppo Immaginiamo un accordo (esplicito o tacito) per lavorare Se uno dei due ragazzi violasse l’accordo di fare la sua parte l’altro non collaborerebbe più Meccanismo punitivo Ogni volta che sono chiamati a collaborare, Lapo e Alice devono decidere se collaborare o «fregarsi» a vicenda

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Vantaggio immediato π Perdita futura 5 4 2 1 2 3 4 tempo

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri) Nota Il gioco deve durare all’infinito o avere una durata finita ma incerta Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità

Esempi pratici Voi L’altro Lavoro divertimento lavoro Divertimento PERCHE’ GLI ESAMI POSSONO ANDARE MALE Voi Lavoro divertimento Voto = 30 e nessun divertimento Voto = 25 e divertimento lavoro Voto = 30 e nessun divertimento Voto = 25 e nessun divertimento L’altro Voto = 25 e nessun divertimento Voto = 20 e divertimento Voto = 25 e divertimento Voto = 20 e divertimento Divertimento

Esempi pratici a) Calcolate i benefici delle decisioni di divertirvi o no, supponendo che divertirvi sia “normale” e non divertirvi diminuisca il vostro punteggio “psicologico” di 6 punti. Descrivete la situazione con la consueta tabella a doppia entrata

Esempi pratici Voi L’altro Lavoro divertimento lavoro Divertimento beneficio = 24 (=30 - 6) Voto = 24 (= 30 -6) Voto = 25 Voto = 19 (= 25 - 6) Voto = 20

Esempi pratici Quale sarà la strategia dominante vostra e del vostro compagno se non sapete cosa farà l’altro? Per entrambi la strategia dominante è quella di non cooperare e di divertirsi, poiché, date le scelte dell’altro giocatore, è la strategia sempre più conveniente. (ECCO PERCHE’ GLI ESAMI POSSONO ANDARE MALE)

Esempi pratici Ultima domanda: Ha rilevanza sapere che in futuro dovrete lavorare ancora insieme? Se i due giocatori dovranno lavorare ancora insieme, allora potrebbe diventare di equilibrio (à la Nash) la strategia di cooperare e di lavorare entrambi!

Gioco dell “appuntamento” Limiti della definizione di equilibrio di Nash Molteplicità equilibri di Nash Prendiamo due altri esempi di gioco Gioco dell’incrocio Due auto (S e B) arrivano contemporaneamente all’incrocio Possono Fermarsi o Passare Gioco dell “appuntamento” Due amici (Nino e Luca) devono andare al cinema ma si non si sono accordati su dove incontrarsi Davanti al cinema o al bar del Paese S P F D -2, -2 2 , 0 0 , 2 0 , 0 Nino c b Luca 3 , 3 0 , 0 1 , 1 Qual è la differenza fra questi due giochi?

Molteplicità equilibri di Nash Nel caso del gioco dell’incrocio (e nella guerra dei sessi) gli equilibri di Nash non sono Pareto Ordinabili 2,0 e 0,2 Nel caso del gioco dell’appuntamento gli equilibri di Nash sono Pareto Ordinabili 1, 1 e 3, 3 La differenza è importante quando si considerano giochi ripetuti Gioco in cui un numero fisso di giocatori effettua ripetutamente lo stesso gioco l’uno contro l’altro I giocatori scelgono le loro mosse sulla base delle azioni compiute dalle rivali nei periodi precedenti Le strategie ed i comportamenti sono più complessi ma anche più realistici che nei giochi uniperiodali Gioco Ripetuto Nel caso giochi ripetuti ed equilibri Pareto ordinabili allora vi sarà un endogeno coordinamento verso la soluzione Pareto Superiore Folk Theorem In caso la questo ripetizione del gioco può far scomparire la molteplicità

Induzione all’indietro e perfezione nei sottogiochi Sottogioco 2, 5 3,3 2, 1 3,3

Dilemma del prigioniero framework generale Prendiamo due altri esempi di gioco Gioco del traffico Due soggetti (sig. Rossi e sig. Bianchi) devono decidere se prendere l’auto o il tram Gioco della Pubblicità Due imprese devono decidere quanto investimento pubblicitario effettuare il prossimo anno R T A B 3, 3 0 , 4 4, 0 1 , 1 Pampers NF FP Lines 500,500 150,750 750,150 250,250

Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash possibili soluzioni Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero Blocco del traffico gioco del traffico Meccanismi istituzionali Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi Meccanismi endogeni accordo fra i giocatori Non sono credibili perché in assenza di meccanismi istituzionali esterni qualsiasi accordo fra le parti non sarebbe rispettato

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Ma nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti Prendiamo il gioco della pubblicità Immaginiamo un accordo (esplicito o tacito) per non fare pubblicità Se una delle due aziende violasse l’accordo di non fare pubblicità l’altra farebbe pubblicità per sempre Meccanismo punitivo All’inizio di ogni periodo le due imprese devono decidere se violare o meno l’accordo

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Se si viola l’accordo Se non si viola l’accordo Ponendo e notando che sono serie convergenti Si ottiene

ESERCIZI OLIGOPOLIO

Concorrenza alla Cournot tra due imprese Funzione di domanda: P = 130 - Q se Q  130 = 0 altrimenti Quantità di mercato: Q = x1 + x2 + … + xn = xi Vettore delle quantità individuali: x = (x1, x2, … , xn) dove xi rappresenta la quantità dell’impresa i  Perciò per un mercato con due imprese Q = x1+ x2 e x = (x1, x2) Costo marginale costante = c

Concorrenza alla Cournot Profitti dell’impresa i: ui(x) = ricavi - costi = Pxi - cxi = (P - c)xi  u1(x) = (P - c)x1 e u2(x) = (P - c)x2

Calcolo della funzione di risposta ottima Funzione di vincita dell’impresa i: ui(x) = (P - c)xi Condizioni del primo ordine: L’impresa 1 massimizza il suo profitto producendo fino al punto in cui il profitto marginale è nullo: 0 = u1/x1 = (P - c) + x1P/x1  0 = (120 - x1 - x2) + x1(-1)  0 = 120 - 2x1 - x2

La funzione di risposta ottima nella concorrenza alla Cournot La condizione del primo ordine per l’impresa 1 è: 2x1 + x2 = 120 Risolvendola per x1 in funzione di x2 otteniamo la funzione di risposta ottima dell’impresa 1: x1 = f1(x2) = 60 - x2/2 Analogamente, la funzione di risposta ottima dell’impresa 2 è: x2 = f2(x1) = 60 - x1/2.

L’equilibrio di Cournot x* 120 x2 = f2(x1) = 60 - x1/2 (40, 40) = x* x1 120 x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

Concorrenza perfetta con due imprese Prezzo uguale al costo marginale In questo mercato il costo marginale = c = $10 Q = 130 - P = 130 - 10 = 120 x* = (60, 60) Il profitto per ogni impresa è (10 - 10)  60 = 0.

Equilibrio di monopolio per due imprese Un monopolista massimizzerà il profitto totale: u = u1 + u2 = (P - c) Q  u = (120 - Q) Q Condizioni del primo ordine per massimizzare il profitto totale:  0 = u/Q = 120 - 2Q  Q* = 60 and profitti totali = (120-60)  60 = $3600

Concorrenza alla Cournot, concorrenza perfetta e monopolio La concorrenza alla Cournot tra due imprese ha un equilibrio che si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot Il monopolio è associato al prezzo più alto, la minore quantità e il profitto più alto La concorrenza perfetta è associata al prezzo più basso, la quantità più alta e a un profitto nullo L’equilibrio di Cournot si colloca in una posizione intermedia rispetto a tutte e tre queste dimensioni.

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot P $130 Equilibrio di monopolio $70 Equilibrio di Cournot $50 Equilibrio di concorrenza perfetta $10 Q 60 80 120

Concorrenza alla Cournot con molte imprese Profitto dell’impresa i: ui(x) = (P - 10)xi Poiché tutte le imprese fronteggiano gli stessi costi e vendono lo stesso prodotto, il gioco è simmetrico. Quindi la strategia di massimizzazione del profitto sarà la stessa per tutte le imprese. Consideriamo una generica impresa i.

Concorrenza alla Cournot con molte imprese L’impresa i desidera massimizzare il profitto ui(x) = (P - 10)xi Condizioni del primo ordine: 0 = ui/xi = (P - 10) + xi(P/xi) = 120 - xs - xi Per simmetria, xs = nxi  0 = 120 - (n+1) xi  xi* = 120/(n+1)

Concorrenza alla Cournot con molte imprese Quantità di mercato: Q* = x1 = nx1 = 120n/(n+1) prezzo di mercato: P* = 130 - Q* =130 - [120n/(n+1)] n    P* = $10 and Q* = 120 L’equilibrio di Cournot coincide con l’equilibrio di concorrenza perfetta quando il numero di imprese tende ad infinito.

Concorrenza di prezzo tra due imprese: il modello di Bertrand La concorrenza di prezzo è diversa dalla concorrenza nelle quantità La concorrenza di prezzo porta al prezzo uguale al costo marginale con appena due imprese.

Concorrenza di prezzo tra due imprese Domanda di mercato: Q = 130 - P Vettore dei prezzi: p = (p1, p2) dove p1 e p2 sono i prezzi rispettivamente dell’impresa 1 e dell’impresa 2 xi(p) è la domanda fronteggiata dall’impresa i Profitto dell’impresa i: ui(p) = (pi - c) xi(p)

Le domande fronteggiate dalle due imprese La curva di domanda dell’impresa 1: x1(p) = 130 - p1 se p1 < p2 = (130 - p1)/2 se p1 = p2 = 0 se p1 > p2 La curva di domanda dell’impresa 2: x2(p) = 130 - p2 se p2 < p1 = (130 - p2)/2 se p2 = p1 = 0 se p2 > p1

La curva di domanda fronteggiata dall’impresa 1 x1 = 0 x1 = 65 - P1/2 P2 x1 = 130 - P1 x1 130

L’equilibrio nel modello di Bertrand Se n è maggiore o uguale a 2, tutti i prodotti sono sostituti perfetti e nessuna impresa ha un vantaggio di costo, allora nell’equilibrio del gioco di Bertrand il prezzo è uguale al costo marginale.

Differenziazione del prodotto La caratteristica comune a tutti i modelli con differenziazione del prodotto è che se il prezzo è leggermente maggiore del prezzo medio di mercato, un’impresa non perde tutta la domanda per i suoi prodotti.

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 1: x1(p) = 180 - p1 - (p1 – prezzo medio) La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 2: x2(p) = 180 - p2 - (p2 – prezzo medio)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto Profitto dell’impresa 1: u1(p1,p2) = (p1 - 20) x1 = (p1 - 20) (180 - 2p1 + prezzo medio) = (p1 - 20) (180 - 1.5p1 + 0.5p2) Profitto dell’impresa 2: u2(p1,p2) = (p2 - 20) (180 - 1.5p2 + 0.5p1)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto Condizioni del primo ordine per la massimizzazione del profitto dell’impresa 1: 0 = u1/p1 = (p1 - 20) (-1.5) + (180 - 1.5p1 + 0.5p2)  0 = 210 - 3p1 + 0.5p2 Funzione di risposta ottima dell’impresa 1: p1 = f1(p2) = 70 + p2/6 Analogamente, funzione di risposta ottima dell’impresa 1 : p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

Equilibrio con concorrenza di prezzo tra due imprese e differenziazione del prodotto p1 = f1(p2) = 70 + p2/6 p2 p2 = f2(p1) = 70 + p1/6 p* = (84, 84) p1

Equilibrio con differenziazione del prodotto L’equilibrio si trova in corrispondenza del vettore di prezzi (84, 84) Il prezzo di mercato è quindi 84, significativamente più alto del costo marginale, che è 20 Ogni impresa vende (180 - 84) = 96 Il profitto di ciascuna impresa è = (84 - 20)  96 = 6144 Di conseguenza ogni impresa può spendere più di 6000 per differenziare il proprio prodotto, ed averne ancora un vantaggio per il profitto.

Esercizi Esercizio 1 Si consideri un gioco di Stackelberg di concorrenza sulla quantità fra 2 imprese. L’impresa 1 è il leader, la 2 il follower. La domanda di mercato è P = 1000-4Q. Ciascuna impresa ha un costo unitario costante pari a 20. Trovate l’equilibrio di Nash Si supponga che il costo unitario produzione impresa 2 sia c<20. Quale valore dovrebbe avere c perché nell’equilibrio di Nash le 2 imprese abbiano la stessa quota di mercato? 75

Esercizi (2) Risoluzione Esercizio 1 L’impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti Ora l’impresa 1 sceglie l’output per massimizzare i propri profitti 76

Esercizi (3) Risoluzione Esercizio 1 Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le stesse quote di mercato. Per vedere il perché, considerate c = 0. In questo caso la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la quantità del follower è inferiore a 120. Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella del follower diminuisce. 77

Esercizio Due imprese competono scegliendo il prezzo. Le loro funzioni di domanda sono: Q1 = 20 – P1 + P2 Q2 = 20 + P1 – P2 Dove P1 e P2 sono i prezzi chiesti da ciascuna impresa, rispettivamente, e Q1 e Q2 sono le risultanti quantità domandate. Si deve notare che la domanda di ciascun bene dipende soltanto dalla differenza tra i prezzi; se le due imprese colludessero e scegliessero lo stesso prezzo, esse potrebbero scegliere il prezzo a un livello comunque alto e realizzare così profitti elevati. I costi marginali sono nulli.

a) Supponete che le due imprese scelgano simultaneamente i loro prezzi a) Supponete che le due imprese scelgano simultaneamente i loro prezzi. Determinate il risultante equilibrio di Nash. Quale prezzo chiederà ciascuna impresa, quale sarà il suo fatturato e quale sarà il suo profitto? (suggerimento: massimizzare il profitto di ciascuna impresa rispetto al suo prezzo). Per determinare l’equilibrio di Nash calcoliamo per ciascuna impresa la funzione di reazione rispetto al prezzo dell’altra impresa, poi risolviamo il sistema di equazioni. Nell’ipotesi che il costo marginale sia nullo, il profitto dell’impresa 1 è dato da: 1 = P1Q1 – CF = P1(20 - P1 + P2) = 20P1 - P12 + P2P1 – CF  ’1 = RM1 = 20 - 2P1 + P2

Al prezzo di massimizzazione del profitto abbiamo che RM1 = 0, da cui si ottiene la curva di reazione dell’impresa 1: P1 = (20 + P2)/2 Poiché l’impresa 2 è simmetrica rispetto all’impresa 1, il suo prezzo che massimizza il profitto è P2 = (20 + P1)/2. Sostituiamo la funzione di reazione dell’impresa 2 in quella dell’impresa 1: P1 = [20 + (20 + P1)/2]/2 = 15 + P1/4 P1 = 20 $ In base alla simmetria, P2 = 20 $ Quindi, sostituendo P1 e P2 nelle rispettive funzioni di domanda, determiniamo la quantità prodotta da ciascuna impresa: Q1 = 20 e Q2 = 20 Infine, per entrambe il fatturato è pari a 400 (20x20) e i profitti: 1 = 2 = 400 - CF

b) Supponete che l’impresa 1 scelga per prima il suo prezzo e poi scelga il suo prezzo l’impresa 2. Quale prezzo chiederà ciascuna impresa, quale sarà il suo fatturato e quale sarà il suo profitto? Se l’impresa 1 fissa per prima il proprio prezzo, tiene conto della funzione di reazione dell’impresa 2. Il profitto dell’impresa 1 è: 1 = P1Q1 = P1[20 - P1 + (20 + P1)/2] - CF Per deteminare il prezzo di massimizzazione del profitto, occorre deteminare come varia il profitto al variare del prezzo: 1’ = 20 - 2P1 + 10 + P1 Imponendo 1’= 0 P1 = 30 $

Sostituendo questo prezzo nella funzione di reazione dell’impresa 2, otteniamo P2 = (20 + 30)/2 = 25 $. In corrispondenza di questi prezzi otteniamo: Q1 = 20 – 30 + 25 = 15 Q2 = 20 + 30 - 25 = 25 I profitti infine sono: 1 = 30·15 = 450 $ - CF 2 = 25·25 = 625 $ - CF Se l’impresa 1 fissa per prima il prezzo, l’impresa 2 può spiazzare l’impresa 1 e guadagnare una maggiore quota di mercato.

Esercizio 2 imprese, prodotto omogeneo MC1=1; MC2=2; FC=0 Domanda inversa P = 6 - 0.01Q (Q = q1 + q2) a) Equilibrio di monopolio con MC=2 b) Funzioni di reazione equilibrio di Cournot c) Equilibrio di Stackelberg con impresa 2 leader d) Equilibrio di Bertrand