I limiti

TOPOLOGIA DELA RETTA Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta(intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all’intervallo.

TOPOLOGIA DELA RETTA INTERVALLI ILLIMITATI

GLI INTORNI DI UN PUNTO

GLI INTORNI DI UN PUNTO

GLI INTORNI DI UN PUNTO

GLI INTORNI DI UN PUNTO

INTORNO DESTRO E SINISTRO

INTORNO DI INFINITO

INSIEMI LIMITATI

INSIEMI ILLIMITATI

ESTREMI DI UN INSIEME

ESTREMI DI UN INSIEME

PUNTI ISOLATI

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

QUALCHE DOMANDA Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? Cosa significa che f(x) tende al numero reale l e che ha per limite quando x tende a x0? Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x0). x0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x0). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato.

Facciamo un esempio

E QUINDI???

LE FUNZIONI CONTINUE

Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D.

Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

Le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate

LIMITE PER ECCESSO

LIMITE PER ECCESSO

LIMITE PER DIFETTO

Limite destro

Limite sinistro

Limiti destro e sinistro infiniti

Gli asintoti verticali

Asintoto orizzontale

Definizione topologica di limite

Teorema di unicità del limite

Teorema della permanenza del segno Il teorema afferma che in un intorno di x0 la funzione f(x) ha lo stesso segno di l .

Teorema inverso

Teorema del confronto (o dei due carabinieri)

Casi particolari

Il limite della somma algebrica di due funzioni: entrambi i limiti sono finiti

le funzioni non hanno entrambe limite finito Questa è una forma di indecisione o forma indeterminata

Il limite del prodotto di due funzioni: le due funzioni hanno limite finito

Le due funzioni non hanno entrambe limite finito Questa è una forma di indecisione o forma indeterminata

Il limite della potenza

La funzione ha limite più infinito

L’esponente ha una funzione

Il limite della radice n-esima di una funzione

Il limite della funzione reciproca

Il limite del quoziente di due funzioni: le funzioni hanno limite finito di cui uno diverso da zero

Le funzioni non hanno entrambe limite finito

Il limite delle funzioni composte

Continuità della funzione inversa

Le forme indeterminate Non esistono regole generali per il calcolo delle forme indeterminate, che vanno quindi risolte caso per caso.

Il limite di una funzione polinomiale

Tre possibili casi 1) Il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore 2) il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore 3) numeratore e denominatore hanno lo stesso grado

I limiti notevoli:

I limiti notevoli che derivano dal precedente

Un altro limite notevole e due limiti che derivano da lui

Gli infinitesimi e il loro confront0

Gli infiniti

Le successioni

La rappresentazione di una successione 1) per enumerazione 2) mediante espressione analitica 3) mediante formula ricorsiva

Esempio

Alcuni tipi di successioni

Le successioni limitate e illimitate

Il limite di una successione La serie diverge posivitamente

Il limite non esiste: successione indeterminata

Teoremi sui limiti delle successioni I teoremi usati per i limiti sono validi come casi particolari anche per le successioni. In particolare il TEOREMA DEL CONFRONTO

OPERAZIONI CON LE SUCCESSIONI

TEOREMI SULLE OPERAZIONI CON I LIMITI

I LIMITI DELLE PROGRESSIONI: LA PROGRESSIONE ARITMETICA

LE PROGRESSIONI GEOMETRICHE