I Numeri Naturali Prof.ssa A.Comis

Un po’ di Storia Definizione Confronto Operazioni Addizione e Moltiplicazione Sottrazione e Divisione Potenza Espressioni Criteri di divisibilità M.C.D. e m.c.m.

L’uomo primitivo non conosceva i numeri e per “contare”, gli oggetti o gli animali usava le dita delle mani o dei bastoncini o delle pietre. Tuttavia, fin dalle epoche più remote, egli è sempre stato affascinato dai numeri, come dimostrano le pitture rinvenute sulle pareti di caverne preistoriche. Gli Indiani ed i Cinesi già nel 5000 a.c. usavano un tipo di scrittura dei numeri adatta ad effettuare calcoli di ordine pratico. Gli antichi Egizi erano molto progrediti nella conoscenza dei numeri e della Geometria e questo era dovuto, in gran parte, alla necessità di ricalcolare i confini dei poderi cancellati dalle inondazioni del Nilo.

Attraverso i secoli, l’uomo ha imparato a dare “un nome” ad ogni numero e a rappresentarlo con un simbolo. Le parole “uno” e “cinque”, per esempio, derivano da termini dell’antico indiano che significano, rispettivamente, “pollice” e “mano aperta”. Bertrand Russel, celebre matematico vissuto dal 1872 al 1970, scrisse in proposito: <<…… …devono essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani e un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2 >>.

Per evidenziare il numero degli elementi che compongono un insieme infinito, fin dai tempi remoti, è stata introdotta la seguente successione di parole: uno, due, tre,…dieci, undici,…cento.. Tali parole sono state chiamate NUMERI NATURALI

La parola “zero” viene associata all’insieme vuoto (cioè quello privo di elementi) e si indica col simbolo 0. La parola “uno” viene associata ad ogni insieme che contiene un solo elemento e si indica col simbolo 1; La parola “due” viene associata ad ogni insieme che contiene due elementi e si indica col simbolo 2. In generale, quindi, possiamo associare ad ogni insieme un numero naturale che esprime “Quanti” sono i suoi elementi.

Definizione I numeri naturali, quindi, sono stati introdotti fin dall’antichità per “contare” gli oggetti di un dato insieme e, nell’ordine scritto, formano la cosiddetta SUCCESSIONE DEI NUMERI NATURALI. Possiamo dare la seguente definizione: I Numeri Naturali sono TUTTI i numeri interi positivi a partire dallo zero.

Osservazioni Si chiama successivo di un numero naturale quel numero che lo segue immediatamente nella successione naturale. Ogni numero naturale ammette un successivo , quindi, la successione naturale non finisce MAI, cioè l’insieme N dei numeri naturali è infinito. Ogni numero naturale ESCLUSO lo zero è successivo di un altro numero naturale.

Confronto in N Dati due numeri naturali a e b : Se occupano lo stesso posto nella successione naturale, allora sono uguali e si scrive a = b; Se a precede b nella successione naturale allora a è minore di b e si scrive a < b; Se a segue b nella successione naturale allora a è maggiore di b e si scrive a > b.

Proprietà dell’uguaglianza Riflessiva : ogni numero naturale è uguale a se stesso a = a Simmetrica : se un numero naturale è uguale ad un altro, allora il secondo è uguale al primo. Se a = b allora b = a Transitiva : se un numero naturale è uguale ad un secondo e questo è uguale ad un terzo, allora il primo è uguale al terzo. Se a = b e b = c allora a = c

Proprietà della disuguaglianza Transitiva : se un numero naturale è maggiore (o minore) di un secondo e questo è maggiore (o minore) di un terzo, allora il primo è maggiore (o minore) del terzo. Se a > b e b > c allora a > c Se a < b e b < c allora a < c Tricotomia : dati due numeri naturali qualunque sussiste SEMPRE una ed una SOLA delle seguenti relazioni : a = b a < b a > b a b c

Ancora un po’ di Storia Con i numeri nacquero anche le prime operazioni effettuate, naturalmente, su oggetti concreti. Solo successivamente l’uomo arrivò a capire il concetto di numero e che, per esempio, 5 + 3 ha sempre 8 come risultato, indipendentemente dal fatto che si sommino pecore, cavalli, persone o qualunque altro cosa. Si cominciarono quindi a sviluppare conoscenze sulle proprietà astratte dei numeri e delle relazioni che intercorrono fra di essi.

Il percorso che portò alle elaborazioni delle attuali concezioni e procedure di rappresentazione dei numeri e delle operazioni con essi, fu lungo e complesso. Oggi ci sembra del tutto naturale usare i numeri ed i bambini, già in tenera età, imparano a contare e poi ad eseguire le quattro operazioni, ma è importante ricordare che il nostro sapere di oggi è frutto di millenni di storia dell’uomo, di tentativi falliti e di piccoli successi. Anche la conquista di un simbolo per noi banale come lo zero, è stato il risultato di faticosi passi compiuti dall’uomo sulla lunga via dell’espansione delle sue conoscenze.

Operazioni in N Nell’insieme dei numeri naturali si sono definite le quattro operazioni fondamentali, cioè l’addizione, la moltiplicazione e le loro inverse, che sono, rispettivamente, la sottrazione e la divisione. L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni sempre possibili dato che la somma ed il prodotto di numeri naturali è ancora un numero naturale, cioè sono operazioni INTERNE all’insieme N.

Addizione La parola “somma” deriva dal latino summa (in alto, al sommo), poiché gli antichi solevano scrivere il risultato delle operazioni in alto. La parola “addendo” deriva dal latino addere che significa aggiungere. I segni + e - sono deformazioni grafiche delle parole latine plus e minus.

Definizione di addizione Diremo che: la somma di due numeri naturali è il numero che si ottiene aggiungendo al primo tante unità quante ne indica il secondo e scriveremo: a + b = s Dove a e b si chiamano addendi ed s rappresenta la somma o risultato dell’addizione. La somma di un qualunque numero naturale con lo zero è il numero stesso cioè a + 0 = a e per questo lo zero si chiama elemento neutro dell’addizione.

Moltiplicazione Diremo che : il prodotto di due numeri naturali è la somma di tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo e si scrive a x b = p dove a e b si chiamano fattori e p rappresenta il prodotto o risultato della moltiplicazione. Il prodotto di un qualunque numero naturale con il numero 1 è il numero stesso cioè a x 1 = a e per questo 1 si chiama elemento neutro della moltiplicazione.

Proprietà L’addizione e la moltiplicazione godono delle seguenti proprietà: Commutativa : Invertendo l’ordine degli addendi (o dei fattori), la somma (o il prodotto ) di due o più numeri naturali non cambia, cioè a + b = b + a e a x b = b x a Associativa : La somma (o il prodotto) di più numeri naturali non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma (o prodotto), cioè (a+b)+c=a+(b+c) e (axb)xc=ax(bxc)

Altre proprietà Distributiva : il prodotto di una somma di numeri per un altro numero, è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma per il numero. Cioè : (a+b)xc = axc + bxc Legge di annullamento del prodotto : il prodotto di due o più fattori vale zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero. Inoltre : ax0 = 0xa = 0 qualunque sia a.

Esempi Proprietà commutativa 3+5 = 5+3 = 8 3x5 = 5x3 = 15 Proprietà associativa (7+2)+3 = 7+(2+3) (7x2)x3 = 7x(2x3) infatti 9+3 = 7+5 = 12 14x3 = 7x6 = 42 Proprietà distributiva (2+5)x4 = 2x4 + 5x4 = 8 + 20 = 28 Elemento neutro 5+0 = 0+5 = 5 5x1 =1x5 =5

Sottrazione Sottrarre da un numero naturale a un altro numero naturale b, significa trovare Se Esiste, un terzo numero naturale d che sommato al secondo dia il primo. Cioè : a – b = d SE d + b = a dove a si chiama minuendo, b si chiama sottraendo e d è la differenza o risultato della sottrazione. La sottrazione NON è una operazione interna in N dato che è possibile SOLO SE il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo.

Proprietà La sottrazione NON gode né della proprietà commutativa né di quella associativa. Esempi: 7-4 = 3 ma 4-7 non esiste (7-5)-2 = 2-2 =0 ma 7-(5-2) = 7-3 =4 La proprietà distributiva vale se è possibile effettuare la differenza, cioè : (a-b)xc = (axc)- (bxc) SE a-b è un numero naturale. Esempio: (12-4)x3= 36-12 = 24 ma anche: (12-4)x3 = 8x3 = 24

Proprietà invariantiva La differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge (o sottrae) ad entrambi uno stesso numero, cioè: a-b = d (a+m) - (b+m) = d (a-m) - (b-m) = d naturalmente è fondamentale che il numero m non superi sia a che b. Esempio: 18-5 = 13 (18+2)-(5+2) = 20-7 =13 (18-3)-(5-3) = 15-2 = 13

Divisione Dividere un numero naturale per un altro diverso da zero, significa trovare Se Esiste un terzo numero naturale che moltiplicato per il secondo dia il primo. Cioè : a:b = q se qxb = a dove a si chiama dividendo b si chiama divisore e q è il quoziente o risultato della divisione. La divisione NON è una operazione interna in N dato che è possibile SOLO SE il dividendo è multiplo del divisore.

Proprietà La divisione NON gode né della proprietà commutativa né di quella associativa. Esempi: 8:4 = 2 ma 4:8 non esiste (16:4):2 = 2 ma 16:(4:2) = 16:2 = 8 La proprietà distributiva vale se è possibile effettuare la divisione, cioè : (a+b):c = (a:c) +(b:c) Esempio: (10+4):2 = (10:2)+(4:2) = 5+2 = 7 ma anche: (10+4):2 = 14:2 = 7

Proprietà invariantiva Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplicano (o dividono) sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, cioè: a:b = q (axm) : (bxm) = q (a:m) : (b:m) = q naturalmente nel secondo caso è fondamentale che sia a che b siano multipli di m. Esempio: 40:5 = (40x2):(5x2) = 80:10 = 8 40:8 = (40:2):(8:2) = 20:4 = 5

Osservazioni Il quoziente di due numeri uguali è 1, cioè a:a = 1 qualunque sia a. Il divisore DEVE sempre essere diverso da zero; per esempio la scrittura 8:0, non ha senso perché non esiste un numero che moltiplicato per 0 dia 8. Non ha senso la scrittura 0:0. Se dividiamo 0 per qualunque altro numero otteniamo sempre 0, cioè 0:a = 0

Potenza Dato un numero naturale a ed un numero n>1, si chiama potenza ennesima di a, il prodotto di n fattori uguali ad a. a si chiama base, n si chiama esponente e si scrive :

Proprietà Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Il rapporto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Altre proprietà La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze. La potenza di un rapporto è il rapporto delle potenze. La potenza di un numero a con esponente 1 è il numero stesso. La potenza di un numero a con esponente 0 è SEMPRE 1. Non ha senso la potenza con base ed esponente uguali a 0.

Riepilogando

Esempi

Espressioni in N Si chiama espressione aritmetica una sequenza finita di numeri e simboli (i segni delle operazioni e le parentesi). Per risolvere le espressioni basta applicare le proprietà viste fino ad ora, tenendo presente che: se l’espressione non contiene parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni si DEVONO eseguire prima delle addizioni e delle sottrazioni; se l’espressione contiene parentesi bisogna risolvere le operazioni che compaiono nelle parentesi più interne e procedere poi verso l’esterno.

Esempi

Criteri di divisibilità Un numero è divisibile per un altro quando la divisione del primo per il secondo è esatta, cioè dà per resto zero. Vediamo alcuni “criteri” : Un numero è divisibile per 2 se è pari Un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 3 Un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra a destra è 0 oppure 5 Un numero di almeno tre cifre è divisibile per 4 o per 25 se lo è il numero formato dalle sue ultime due cifre a destra

Altri criteri Un numero è divisibile per 10, 100, 1000,ecc …. quando termina con uno, due, tre, ecc. zeri Un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari è zero o 11 Un numero si dice PRIMO se è divisibile SOLTANTO per se stesso e per 1 Due numeri si dicono PRIMI FRA LORO se non hanno fattori comuni oltre 1

M.C.D. e m.c.m. Dicesi M.C.D. fra due o più numeri scomposti in fattori primi, il prodotto dei fattori comuni presi una volta e con il minore esponente. Dicesi m.c.m. fra due o più numeri scomposti in fattori primi il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una volta e con il maggiore esponente.

Esempi