I Numeri

C R Q Z r N

I numeri naturali (N) L'insieme dei numeri naturali è un insieme discreto ovvero tra un numero e l'altro ci sono altri numeri non appartenenti all'insieme N, i numeri in N possono essere rappresentati da una SEMIRETTA orientata. Sono interne ad N l'addizione e la moltiplicazione.

I numeri interi (Z) I numeri interi vengono chiamati anche relativi e possono essere positivi o negativi. Lo 0 non appartiene a nessuna delle due categorie anche Z è un insieme discreto, i numeri relativi vengono rappresentati su una RETTA orientata. Sono interne a Z addizione, moltiplicazione e sottrazione.

I numeri razionali (Q) L'insieme dei numeri razionali è un insieme denso formato da numeri derivanti dal rapporto di due numeri interi, chiamate frazioni. Sono interne a Q tutte le operazioni. Anche l'insieme Q si rappresenta con una retta orientata

I numeri Reali [R] e Complessi [C] Nei numeri reali troviamo anche numeri come  π e  √2  Nell'insieme dei numeri complessi aumentano le operazioni che possiamo fare ma si perde l'ordinamento. Nei numeri complessi troviamo per esempio ‘’ i " (radice quadrata di –1)

Multipli e divisori  I multipli di un numero sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri interi, lo 0 è multiplo di tutti i numeri Un numero naturale b diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra b e a dà come resto 0.

Criteri di divisibilità 2 Termina per 0,2,4,6,8 22, 54, 88, 96 3 La somma delle sue cifre è un multiplo di 3 27, 192, 762 4 Termina con 00 o le ultime 2 cifre da destra sono un multiplo di 4 2000, 416, 564  5 Termina con 0 o con 5 10, 75, 500, 925 9 La somma delle sue cifre è un multiplo di 9 126, 693, 1026 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 121 ( 1+1) - 2= 0 253 (2+3) -5= 0 25 Termina con 00 o le ultime 2 cifre da destra sono un multiplo di 25 250, 4525, 375 10,100,1000 Termina rispettivamente con 0, 00, 000 20, 200,2000

Le divisioni con lo 0 0 : 0= indeterminata (qualsiasi numero moltiplicato per 0 darà 0 come risultato) (Se a≠0) 0 : a = 0 (determinata) (se a ≠ 0) a : 0= impossibile (nessun numero moltiplicato per 0 darà come risultato un numero diverso da 0)

Potenze  Elevare un numero a potenza significa moltiplicare la base per se stessa tante volte quante ne indica l'esponente.  2^3= 2*2*2=8 

Proprietà delle potenze Le proprietà delle potenze si applicano solo per moltiplicazioni e divisioni

Prodotto di potenze con stesso esponente Si ottiene una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente l'esponente dato 

Quoziente di potenze con stesso esponente Si ottiene una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente quello dato 

Prodotto di potenze con stessa base si ottiene una potenza che ha per base quella data e per esponente la somma degli esponenti 

Quoziente di potenze con stessa base Si ha una potenza che ha per base la base data e per esponente la differenza degli esponenti

Potenza di potenza Si ha una potenza che ha per base la base data e per esponente il prodotto degli esponenti 

                 Potenze con 0 Qualsiasi numero diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1. 0 elevato a 0 è indeterminata

Potenze con esponente negativo  Un numero si dice elevato a potenza negativa quando l' esponente è negativo. Quando abbiamo una potenza negativa dobbiamo invertire numeratore e denominatore e mettere come esponente lo stesso esponente positivo. Esempio: 3^-2=( 1\3)^2

MCD Il MCD di due o più numeri è il loro massimo comune divisore. Si calcola scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando i fattori primi in comune prendendo tra di essi quelli con esponente minore. Esempio: MCD tra 60 e 48 60= 2^2*3*5*1 48= 2^4*3*1 MCD= 2^2*3*1=12

mcm Il mcm di due o più numeri è il loro minimo comune multiplo. Si calcola scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando i fattori primi in comune e non prendendo tra di essi quelli con esponente maggiore. Esempio: mcm tra 9 e 15 9= 3^2*1 15= 5*3*1 mcm= 3^2*5*1=45 Il mcm si può calcolare anche facendo il prodotto fra i numeri e dividendolo per il loro MCD.

Numeri decimali finiti e periodici Un numero decimale finito è un numero con una parte decimale definita.  Esempio: 0,25 ;  0,895 ; 14,2 Un numero decimale periodico semplice è un numero con un periodo, ovvero con una o più cifre decimali ripetute un numero infinito di volte. 0,333333 Un numero decimale periodico misto e' un numero periodico dove le cifre sotto periodo sono precedute da una o più cifre che non si ripetono, chiamate antiperiodo Esempio: 0,372222222222

Frazioni generatrici La frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene considerando la frazione avente: Come numeratore il numero, scritto senza virgola, diminuito del numero costituito da tutte le cifre che precedono il periodo Come denominatore il numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 tanti quanti sono le cifre dell'antiperiodo. 0,25=> 25/100 0,33333=> 3/9 0,055555=> 5/90

Le proporzioni Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Esempio: 12 : 3= 24 : 6 3 e 24 sono i medi mentre 12 e 6 sono gli estremi della proporzione. 12 e 24 sono anche detti antecedenti mentre 3 e 6 sono i conseguenti

PROPRIETA' FONDAMENTALE Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi Nel nostro caso 12*6=24*3 = 72

Proprietà delle proporzioni Proprietà dell'invertire: se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione. Esempio: 12:3 = 24:6 diventa 3:12 = 6:24

Proprietà del permutare: se in una proporzione si scambiano tra di loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono ancora delle proporzioni Esempio:  12:3 = 24:6              diventa              12:24 = 3:6       o      6:3 = 24:12

Proprietà del comporre: In ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo o al quarto termine. Esempio: 12:3 = 24:6 diventa (12+3):12 = (24+6): 24 oppure (12+3):3 = (24+6):6

Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione con gli antecedenti maggiori la differenza del primo e secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo o al quarto termine. Esempio: 12:3 = 24:6 diventa (12-3):12 = (24-6):24 oppure (12-3):3 = (24-6):6 In caso gli antecedenti siano minori dei conseguenti si applica prima la proprietà dell'invertire.

Percentuali La percentuale è un rapporto che ha 100 come denominatore 25%= 25/100= ¼= 0.25

Leggi di monotonia Prima legge: aggiungendo o sottraendo lo stesso numero a entrambi i termini di un'uguaglianza o di una diseguaglianza essa non cambia Seconda legge: moltiplicando o dividendo per lo stesso numero entrambi i termini di un'uguaglianza essa non cambia. Se si moltiplica o divide per un numero negativo la diseguaglianza si inverte 

Monomi Monomio: prodotto tra numeri e lettere che possono essere elevati a potenza positiva. Scrivere un monomio in forma normale significa scrivere il monomio con un unico coefficiente numerico e con le lettere non ripetute  Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti

Grado di un monomio Rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera  Complessivo: è la somma dei gradi delle singole lettere

Operazioni con i monomi Somma algebrica (solo tra monomi simili) 2a+ 3a= 5a Moltiplicazione 2a* 3b= 6ab Divisioni  10a^2 : (-5a)= -2a Elevamento a potenza [3(a^2)b]^2 = 3^2(a^2)^2(b^2) = 9(a^4)b^2

MCD di monomi 81a^5x^2 -135ax^2 MCD= +3^3x^2 Applicare la procedura per trovare il MCD e prendere come parte letterale le lettere in comune con esponente minore. Per convenzione il segno è sempre positivo (1/3)ax (5/4)xy 3x MCD=+1x Se almeno un coefficiente è una frazione il coefficiente numerico del MCD sarà +1.

Mcm di monomi 81a^5x^2y -135ax^2 mcm= +405a^5x^2y Applicare la procedura per trovare il mcm e prendere come parte letterale le lettere in comune e non con esponente maggiore. Per convenzione il segno è sempre positivo. 1/3ax   5/4xy  3x mcm= +1axy Se almeno un coefficiente è una frazione il coefficiente numerico  del mcm sarà +1

Sistema di numerazione Il sistema di numerazione usato convenzionalmente è quello in base 10, tuttavia esistono altri sistemi di numerazioni. Tra questi abbiamo il sistema binario (o base 2), che è quello usato dai computer. E quello in base 16.

Nel sistema binario sono presenti solo le cifre 0 ed 1 Nel sistema binario sono presenti solo le cifre 0 ed 1. In base 3 sono presenti le cifre 0, 1 e 2 E cosi via fino a quando non avremo bisogno di più di 10 cifre, allora useremo le lettere In base 16 si usano le cifre da 0 a 9 e le lettere A B C D E F che saranno rispettivamente i numeri 10 11 12 13 14 15

Come trasformare i numeri da una base qualsiasi a base 10 Si moltiplica ogni cifra del numero per una potenza che ha come base il sistema di numerazione (prendiamo d'esempio la base 2) e che ha per esponente il numero di cifre precedenti ad essa.   Esempio: 1001. 1 lo moltiplico per due elevato alla 0, non ho numeri prima di esso.  Lo 0 lo moltiplico per due elevato alla 1, infatti ha una cifra che lo precede, cioè l'uno  L'altro 0 lo moltiplico per due elevato alla 2, infatti ha 2 cifre che lo precedono, cioè 0 ed 1.  L'ultima cifra si moltiplica per 2 alla 3, infatti ha 0, 0, 1, cioè 3 cifre che lo precedono

Sistema binario Da base 2 a base 10 1001101= 1*2^0 +0*2+ 1*2^2+ 1*2^3+ 0*2^4+ 0*2^5+ 1*2^6= 1+0+4+8+0+0+64= 77 Da base 10 a base 2 si applicano le divisioni successive dove si guardano i resti Esempio 77:2= 38 resto 1 38:2= 19 resto 0 19:2= 9 resto 1 9:2= 4 resto 1 4:2= 2 resto 0 2:2= 1 resto 0 1:2= 0 resto 1 Il numero in base 2 saranno i resti presi al contrario, ovvero prendendo come primo numero l'ultimo resto, come secondo il penultimo e cosi via. Infatti otteniamo che 77=1001101

Operazioni sul sistema binario Le operazioni si svolgono in colonna Somma. 11101+10111= 110100 Moltiplicazione 101*11= 101+1010=1111 Sottrazione 10110- 111= 1111    

Base 16  In base sedici poiché le cifre da noi utilizzate sono solamente 10 si utilizzano anche le prime sei lettere dell'alfabeto, che corrispondono ai numeri mancanti: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F                                  10 11 12 13 14 15 1A3B= B*16^0+ 3*16+ A*16^2+ 1*16^3 Quando bisogna riscrivere un numero da base 10 a base 16 è importante quando si hanno resti di 10, 11, 12, 13, 14 o 15 riscriverli con la loro rispettiva lettera Esempio: se i resti sono 1; 11;15;4 il numero in base 16 sarà scritto nel seguente modo: 4FB1

Liceo Scientifico Linguistico F Liceo Scientifico Linguistico F. Redi Creato da: Aurora Spadini Lorenzo Mori Classe 1° D In collaborazione con: Prof.ssa Padrini Vanna A.S. 2016/17