Ψ(x,t)=∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ) Un po’ di precisazioni -i Eit Ψ (x,t)= Φ (x) e i=1,2,3,.....,∞ ĤΦ =EiΦi i i i Abbiamo detto che un generico stato può sempre essere scritto come: Ψ(x,t)=∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ) Preciazione: Questa è una scrittura semplificata, in cui l’indice “i” indica in realtà tutti gli indici che servono per descrivere lo stato del sistema.

Ψ(r,θ,φ,t)=∑n,l,m cn,l,m ψn,l,m(r,θ,φ)e(-itEn/ℏ) Es. Le autofunzioni per l’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno sono del tipo: lo stato del sistema è specificato da 3 numeri quantici Ψ(r,θ,φ)=Rn,l(r)Ylm(θ,φ); i livelli energetici del sistema sono specificati dal solo n, e sono pertanto degeneri ĤΨ(r,θ,φ)=EnΨ(r,θ,φ); Ψ(r,θ,φ,t)=∑n,l,m cn,l,m ψn,l,m(r,θ,φ)e(-itEn/ℏ) <ψn,l,m(r,θ,φ)|ψn’,l’,m’(r,θ,φ)>=δn,n’δl,l’δm,m’

Ψ(x,t)=∑i,j,k cijk(t) fi,j,k(x) Ovviamente posso avere indici multipli anche scrivendo lo stato del sistema come combinazione lineare di autofunzioni di operatori diversi dall’hamiltoniano. Ψ(x,t)=∑i,j,k cijk(t) fi,j,k(x) In verità finora non abbiamo considerato un caso importante, ovvero quello di spettri continui.

px =-iℏ x f(x)= ipf(x) -iℏ f(x)=pf(x) x x ℏ f(x)=Aeipx/ℏ Lz Autofunzioni dell’operatore momento (1D) px =-iℏ x f(x)= ipf(x) -iℏ f(x)=pf(x) x x ℏ f(x)=Aeipx/ℏ Lz Identiche a quelle di ? No! 1. La condizione f(o)=f(2π) discretizzava i valori possibili degli autovalori 2. Lo spazio di Hilbert corrispondente era L2(0,2π) su cui potevo imporre la normalizzazione.

p=autovalore, p∈R f(x)=Aeipx/ℏ≡ fp(x) |A|2 dx diverge per |A|≠0 Autofunzioni dell’operatore momento (1D) p=autovalore, p∈R f(x)=Aeipx/ℏ≡ fp(x) +∞ |fp|2= |A|2; |A|2 dx diverge per |A|≠0 -∞ Noi avevamo dimostrato che px era autoaggiunto in L2(R), possibile che ammetta autofunzioni non appartenenti a L2(R)?Sì. E tutta la questione del sonc, etc? Non è vera, ma è “quasi vera”.

1 f(x)= dk eikx f(k) 2π 1 f(k)= dx e-ikx f(x) 2π 1 f(x)= dkxdkydkz Rappresentazione in integrale di Fourier +∞ 1 f(x)= dk eikx f(k) 2π -∞ +∞ 1 f(k)= dx e-ikx f(x) 2π -∞ (Estensione in 3D immediata) +∞ +∞ 1 +∞ f(x)= dkxdkydkz eik·xf(k) 3/2 (2π) -∞ -∞ -∞

δ(x-x0)=0 se x≠x0; f(x0)= dx δ(x-x0) f(x) 1 1 f(k)= dx e-ikx δ(x)= 2π Delta di Dirac δ(x-x0)=0 se x≠x0; +∞ f(x0)= dx δ(x-x0) f(x) -∞ +∞ 1 1 f(k)= dx e-ikx δ(x)= 2π 2π -∞ +∞ 1 δ(x)= dk eikx 2π -∞

Delta di Dirac +∞ 1 δ(x)= dk eikx 2π -∞ +∞ 1 δ(k)= dx eikx 2π -∞

<fp’(x),fp(x)>= |A|2 fp’(x)fp(x)dx Aeipx/ℏ≡ fp(x) Autofunzioni dell’operatore momento (1D) +∞ * <fp’(x),fp(x)>= |A|2 fp’(x)fp(x)dx Aeipx/ℏ≡ fp(x) -∞ <fp’(x),fp(x)>= |A|22πℏ δ(p’-p) eipx/ℏ fp(x)= <fp’(x),fp(x)>= δ(p’-p) 2π ℏ <fn’(x),fn(x)>= δn’,n Spettro continuo->autofunzioni “improprie” o “alla Dirac”. In senso generalizzato sono un sonc!

<fp’(x)|f(x)>= dx dp fp’(x) c(p)fp(x)dp eipx/ℏ fp(x)= f(x)=∑ncnfn(x); cm=<fm|f(x)> 2π ℏ +∞ f(x)= c(p)fp(x)dp Certo che posso scriverla sempre così. Equivale alla rappresentazione in integrale di Fourier! -∞ +∞ +∞ * <fp’(x)|f(x)>= dx dp fp’(x) c(p)fp(x)dp -∞ -∞ +∞ +∞ * <fp’(x)|f(x)>= dp c(p) dx fp’(x) fp(x)=c(p’) -∞ -∞

<fp’(x)|f(x)>=c(p’) Questa scrittura altro non dice che i c(p) sono la trasformata di Fourier di f(x) |c(p)|2dp=prob. di trovare la particella in un intervallino attorno all’autostato improprio

f(x)= c(p) dp eipx/ℏ 2π ℏ c(p,t) dp eipx/ℏ Ψ(x,t)= 2π ℏ +∞ -∞ +∞ -∞ Funzione d’onda nello “spazio della posizione” Funzione d’onda nello “spazio dei momenti”

xfy(x)=λyfy(x); fy(x)=Aδ(x-y) Autofunzioni dell’operatore posizione Âfy(x)=λyfy(x); xfy(x)=λyfy(x); fy(x)=Aδ(x-y) ma A=1 già garantisce ortonormalità generalizzata. Autovalori: ogni y∈R +∞ <fy’(x)|fy(x)>= dxδ(x-y)δ(x-y’)=δ(y’-y)->ortonormalità generalizzata -∞ +∞ Dim: porre g(x)=δ(x-y’) e considerare che f(y)= dx δ(x)f(x-y) -∞

Autofunzioni dell’operatore posizione La completezza generalizzata è banale: è ovvio che per ogni f(x) posso scrivere: +∞ f(x)= dy c(y) δ(x-y): basta porre c(y)=f(y); ovviamente: -∞ +∞ +∞ <δ(x-y’)|f(x)>= dx dy δ(x-y’) c(y) δ(x-y) -∞ -∞ +∞ +∞ +∞ = dy c(y) dx δ(x-y’)δ(x-y)= dyc(y)δ(y-y’) =c(y’) cvd -∞ -∞ -∞

Formalismo di Dirac (cenni) 1. Ogni elemento dello spazio di Hilbert è indicato con |f e viene detto “ket”. Di un ket non si specificano le variabili da cui dipende (tipo x,y,z vs r,θ,φ vs altre, vedi oltre); il formalismo vuole essere il più generale possibile. Può (dipende dai libri, in generale lo si capisce dal contesto) invece essere specificata la dipendenza temporale: |f(t) . Fin qui niente di strano. E’ solo una questione di nomenclatura.

Formalismo di Dirac (cenni) 2. Si introduce il concetto di “bra”. In particolare, il simbolo g| indica un funzionale lineare che agisce sui ket, assegnando ad ogni vettore |f dello spazio di Hilbert il numero complesso dato dal prodotto interno g| f I bra vivono nello spazio “duale” dello spazio di hilbert H, indicato con H*. Ad ogni ket ￨g＞∈H posso associare il bra ＜g|∈H* che agisce su ogni ￨f＞∈H associandogli ＜g|f＞. In quest’ottica, ogni prodotto interno ＜g|f＞ è visto come il risultato dell’azione del bra ＜g| sul ket ￨f＞: ＜g|(￨f＞)≡ ＜g|f＞.

Formalismo di Dirac (cenni) 2. Si introduce il concetto di “bra”. In particolare, il simbolo g| indica un funzionale lineare che agisce sui ket, assegnando ad ogni vettore |f dello spazio di Hilbert il numero complesso dato dal prodotto interno g| f Oss: Dati f,g,h∈H, a,b∈C, ＜g￨af+bh＞=a＜g￨f＞+ b＜g￨h＞ Ok, è proprio lineare ...

Formalismo di Dirac (cenni) Non è un concetto così strano. Un operatore  associa ad ogni elemento dello spazio di Hilbert (e, quindi, ad ogni ket), un altro vettore dello spazio di Hilbert (e, quindi, un altro ket) |f |h =  |f Un bra, invece, assegna ad ogni vettore un numero complesso. In quest’ottica un prodotto interno è visto come il risultato dell’applicazione di un bra su un ket.

Formalismo di Dirac (cenni) Osservazione: se λ,μ∈C; u,f,a,b∈Hilbert e |u =λ|a +μ|b allora ＜u￨f＞ =(vecchio formalismo)=＜(λa+μb)|f>= λ*＜a￨f＞+μ*＜b|f＞= =(nuovo formalismo) =(λ*＜a￨+μ*＜b￨)￨f＞, e quindi, se ￨u＞=λ￨a＞+μ￨b>, allora il bra associato al ket ￨u＞ è ＜u￨=λ*＜a￨+μ*＜b￨ (Segue anche da ＜u￨f＞= ＜f￨u＞*). Si dice che la corrispondenza tra bra e ket è antilineare.

Formalismo di Dirac (cenni) Osservazione: se λ∈C; f∈Hilbert ￨λf＞=λ￨f＞=￨f＞λ ＜λf￨=λ*＜f￨=＜f￨λ* Quindi nel prodotto tra uno scalare e un bra o tra uno scalare e un ket l’ordine non è importante. Ovviamente, lo è invece tra bra e ket: ＜f￨g＞∈C; ￨g＞＜f￨ è un operatore! ￨g＞＜f￨h＞=＜f￨h＞￨g＞

Formalismo di Dirac (cenni) Adesso considero un operatore Â. Evidentemente, tale operatore agisce in modo naturale sui ket. Â￨f＞=￨h＞. Definisco l’azione di un operatore su un bra, di modo che fornisca un nuovo bra. Se ＜f￨ indica il funzionale che associa ad ogni ket ￨g＞ un numero complesso dato dal prodotto interno ＜f￨g＞, definisco  applicato ad ＜f￨ come un funzionale che prende un vettore ￨g＞, gli applica  e poi calcola il prodotto interno con ＜f￨. Si indica con ＜f￨Â, e la sua azione è espressa da (＜f￨ )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g＞) so cosa vuol dire

Formalismo di Dirac (cenni) (＜f￨ )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g＞) Se ＜f￨ è un bra, ＜f￨ è anche un bra. Se agisce su ￨g＞ fornisce il numero complesso ＜f￨Â￨g＞. Notare che le parentesi non servono. Vista la definizione (*) è uguale pensare che  sia applicato al ket ￨g＞ o al bra ￨f＞. Oss: se avessi usato il simbolo Â＜f￨, la sua applicazione a ￨g＞ si sarebbe scritta Â＜f￨g＞ (operatore che agisce su numero complesso?)

Formalismo di Dirac (cenni) (＜f￨ )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g＞) Abbiamo detto che ＜f￨ è un bra. Quale sarà il suo ket corrispondente? Notare che dato ￨f＞ e presa una ￨g＞, ＜f￨g＞=＜g￨f＞* che può essere presa come definizione del bra ＜f￨ Usando la vecchia notazione: ＜g￨Âf＞*= ＜Âf￨g＞= ＜f￨†g＞-> ＜f￨†g＞= ＜g￨Âf＞* (nuova notazione: ＜f￨†￨g＞= ＜g￨Â￨f＞*) Il bra associato al ket ￨Âf＞ (=Â￨f＞) è il bra ＜f￨†

Formalismo di Dirac (cenni) Autovettori Se  ammette autovalori α1,...,αn, allora indicherò gli autovettori con ￨αi＞. Se j è un indice di degenerazione, allora gli autovettori saranno del tipo ￨αi, j＞  ￨αi, j＞=αi￨αi, j＞; A volte si condensa ancora di più la scrittura. Es: atomo di idrogeno: autovettori ￨n,l,m＞; Ĥ￨n,l,m＞=En￨n,l,m＞ (En=-13.6eV/n2). Ortonormalità: ＜n’,l’,m’￨n,l,m＞=δn’,nδl’,lδm’,m Se lo spettro è continuo, la notazione non cambia: ad esempio  ￨α＞=α￨α＞; α∈R

Formalismo di Dirac (cenni) Proiezione su un sonc Supponiamo che l’insieme di ket ￨yn＞ costituisca un sonc. Preso un qualunque vettore (ket) ￨f＞, la sua proiezione su ￨yn＞ è data da ＜yn￨f＞ ￨yn＞, che nella nuova notazione può essere vista come l’applicazione dell’operatore Pn= ￨yn＞ ＜yn￨ sul ket ￨yn＞ (ovviamente, ￨yn＞ ＜yn￨f＞=＜yn￨f＞ ￨yn＞). Bene, ma se gli ￨yn＞ sono un sonc, allora deve valere: ￨f＞=∑n＜yn￨f＞ ￨yn＞=∑n (￨yn＞ ＜yn￨)￨f＞=(∑n ￨yn＞ ＜yn￨)￨f＞➞ ∑n ￨yn＞ ＜yn￨ = 1 (nel senso di operatore identità).

Formalismo di Dirac (cenni) ∑n ￨yn＞ ＜yn￨ = 1 (nel senso di operatore identità). Se il sonc è continuo e gli autovalori sono tutti i reali, la relazione diventa: +∞ ￨α＞ ＜α￨dα = 1 -∞ Proiezione su un sonc discreto ＜f￨g＞=＜f￨1￨g＞=＜f￨ ∑n ￨yn＞ ＜yn￨g＞= ∑n ＜f￨yn＞＜yn￨g＞ Prodotto interno tra due vettori astratti espresso in termini della somma dei prodotti delle loro componenti (la prima c.c.).

Formalismo di Dirac (cenni) Equazione agli autovalori per l’operatore-posizione x￨x＞=x￨x＞; x∈R. Le ￨x＞ sono un sonc ➞ +∞ ￨x’＞ ＜x’￨dx’ = 1 -∞ +∞ ￨f(t)＞= ￨x’＞ ＜x’￨f(t)＞ dx’ = 1. -∞ Coefficiente che fornisce la proiezione di f(t) sull’autofunzione specifica della posizione➞ |＜x’￨f(t)＞|2 dx’ = probabilità di trovare la particella attorno a x’. Ehy, ma questa è la funzione d’onda f(x’,t)

Formulazione generale della meccanica quantistica e “rappresentazioni”. Postulato 1: Ad ogni sistema fisico S è associabile uno spazio di Hilbert H(S). Ogni stato del sistema è rappresentato da un elemento ￨Ψ(t)＞∈ H(S). L’evoluzione del sistema è determinata dall’equazione di Schrödinger: Ĥ￨Ψ(t)＞=iℏd/dt(￨Ψ(t)＞) dove Ĥ è un opportuno operatore autoaggiunto. Dopodichè, se prendo il vettore astratto ￨Ψ(t)＞ e gli applico il bra ＜x￨, ottengo la “funzione d’onda nella rappresentazione di Schrödinger (o “nello spazio delle posizioni”) Ψ(x,t)= ＜x￨Ψ(t)＞ In tale rappresentazione, l’operatore posizione è quello di moltiplicazione, il momento quello di derivazione, e l’equazione di Schrödinger è quella cui siamo abituati. Ma è solo una “scelta”.

Rappresentazione nello spazio dei momenti Equazione agli autovalori per l’operatore-momento p￨p＞=p￨p＞; p∈R. Le ￨p＞ sono un sonc ➞ +∞ ￨p’＞ ＜p’￨dp’ = 1 -∞ +∞ ￨f(t)＞= ￨p’＞ ＜p’￨f(t)＞ dp’ = 1. -∞ Coefficiente che fornisce la proiezione di f(t) sull’autofunzione specifica del momento➞ |＜p’￨f(t)＞|2 dp’ = probabilità di trovare la particella con momento attorno a p’. Ehy, ma questa è la trasformata di Fourier (c(p,t)) della funzione d’onda nello spazio delle posizioni.

p￨p＞=p￨p＞; p∈R. x￨x＞=x￨x＞ Come agiscono? Prendo una generica ￨f＞ e considero: x￨f＞ applico il bra ＜x￨ ＜x￨ x￨f＞=x＜x￨f＞. Ho scritto che, nella rappresentazione dello spazio delle posizioni: xf(x)=xf(x)

ℏ∂x Come agiscono? Prendo una generica ￨f＞ e considero: p￨f＞ applico il bra ＜x￨ ＜x￨ p￨f＞=＜x￨pf＞. questo vuol dire considerare la funzione pf(x), che conosciamo: ＜x￨ p￨f＞=-i ℏ∂x ＜x￨f＞ ma nella rappresentazione dei momenti ＜p￨p￨f＞=p＜p￨f＞ diventa l’operatore di moltiplicazione! (pensare a cosa fa una derivata che agisce sulla TdF)

eipx/ℏ 2π ℏ Notare che: ＜x￨p＞= Tutto è ovviamente estendibile in 3 (o più) dimensioni. In 3D, se indico con ￨n,l,m＞ le autofunzioni per un potenziale centrale, allora: ＜x￨n,l,m＞=Rnl(r)Ylm(θ,φ)