Derivata delle funzioni di una variabile Ins. Agostini Pierluigi

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e indichiamo con x0 un punto interno a questo intervallo. f(x0+h) f(x0) a b x0 x0+h

f(x0+h) f(x0) a b x0 x0+h INCREMENTO h Se da x0 si passa ad un altro punto qualunque x0+h dell’intervallo [a; b], si dice che si è dato alla variabile x l’INCREMENTO (POSITIVO O NEGATIVO) h.

f(x0+h) f(x0+h)-f(x0) f(x0) INCREMENTO DELLA FUNZIONE a b x0 x0+h INCREMENTO h La differenza f(x0+h) -f(x0), tra i valori che la funzione assume quando la variabile x passa dal valore x0 al valore x0+h, si chiama INCREMENTO DELLA FUNZIONE e può avere valore positivo, negativo o nullo.

RAPPORTO INCREMENTALE Il rapporto si chiama RAPPORTO INCREMENTALE della funzione f(x) relativo al punto x0 e all’incremento h.

INCREMENTO DELLA FUNZIONE INCREMENTO DELLA X f(x0+h) f(x0+h)-f(x0) f(x0) INCREMENTO DELLA FUNZIONE a INCREMENTO DELLA X b x0 x0+h

TANGENTE ALLA CURVA IN UN PUNTO Si chiama tangente t alla curva piana L in un suo punto P0 la posizione limite (se esiste) a cui tende la retta secante s = PP0 essendo P un generico punto della L distinto da P0. Retta tangente alla curva in P0 P P P P P0 a b

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Si chiama DERIVATA della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA Prima di introdurre il significato geometrico della derivata è opportuno richiamare il concetto di COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA. Si ricordi che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti di coordinate note si calcola utilizzando la seguente formula:

Cioè: P2(x2; y2) y2-y1 P1(x1;y1) x2-x1 Il coefficiente angolare, rappresenta quindi il rapporto fra l’incremento della funzione (y2-y1) e l’incremento della x (x2-x1)

Per quanto riguarda la derivata di una funzione f(x) in un punto si avrà: Retta tangente alla curva in P0 P P P P P0 a b

DERIVATA di alcune FUNZIONI ELEMENTARI 1) Derivata di f(x) =k (y=k) Applicando la definizione andiamo a calcolare il limite del rapporto incrementale per questa funzione: Interpretazione geometrica: Se si pensa al significato geometrico della derivata si verifica che il coefficiente angolare della tangente ad una funzione costante è sempre zero, come è possibile vedere dalla figura seguente

f(x)=k a b x0 x0+h In qualsiasi punto si consideri la retta tangente, essa coinciderà con la funzione stessa, la quale essendo parallela all’asse delle x, ha coefficiente angolare nullo.

Derivata della funzione f(x)=x (y=x) 2) Derivata della funzione f(x)=x (y=x) Applicando la definizione andiamo a calcolare il limite del rapporto incrementale per questa funzione: 1 Interpretazione geometrica: Se si pensa al significato geometrico della derivata si verifica che il coefficiente angolare della tangente alla funzione y=x è sempre uno, come è possibile vedere dalla figura seguente

La retta tangente in x0 sarà la seguente retta x0+h b La retta tangente in x0 sarà la seguente retta Che ha coefficiente angolare 1 (uno)

2x 3) Derivata della funzione f(x)=x2 (y=x2) Applicando la definizione andiamo a calcolare il limite del rapporto incrementale per questa funzione: Andando a calcolare questo limite si otterrebbe la forma indeterminata 0/0, si raccoglierà quindi a fattor comune la h ottenendo: 2x

Interpretazione geometrica Retta tangente alla parabola nel punto x=2, avente coefficiente angolare 4 4 2 Se si prende in considerazione ad esempio il punto x=2, si ha che in corrispondenza a tale punto la retta tangente alla parabola avrà coefficiente angolare uguale a y’=2x= 4

Si osservi un altro esempio sempre riguardante la funzione y=x2: Retta tangente alla parabola nel punto x=1avente coefficiente angolare 2 1 1 Se si prende in considerazione ad esempio il punto x=1, si ha che in corrispondenza a tale punto la retta tangente alla parabola avrà coefficiente angolare uguale a y’=2x=2

TABELLA FORMULE Si riportano di seguito alcune delle principali regole di derivazione: Funzione Derivata Funzione potenza In particolare

Funzione Derivata Funzioni Goniometriche Funzioni Logaritmiche In particolare

Funzione Derivata Funzioni esponenziali

PRINCIPALI REGOLE DI DERIVAZIONE Funzione Derivata Esempio 1. Esempio 2. Esempio 3. Esempio 4. Esempio 5.

ESEMPIO 1. 1. 2. Pagina precedente

ESEMPIO 2 1. 2. 3. Pagina precedente

ESEMPIO 3. 3 1. f’(x) g(x) f(x) g’(x) 2. Pagina precedente

ESEMPIO 4. 1. Eseguendo tutti i calcoli si ottiene: f’(x) g(x) f(x) Pagina precedente

ESEMPIO 5. (g(x)) f (g(x)) f 1. g’(x) 2. f’(g(x)) g’(x) f’(g(x)) Pagina precedente