Distribuzioni limite La distribuzione normale Si consideri una variabile casuale rappresentata mediante una combinazione lineare di altre variabili casuali e che di tale variabile casuale si voglia determinare la distribuzione di probabilità Teorema del limite centrale “Sotto condizioni molto generali, man mano che il numero delle variabili presenti nella sommatoria diventa grande, la distribuzione della variabile somma si avvicina sempre più alla distribuzione normale”. Oss.: Il teorema vale in “condizioni molto generali” ovvero se (1) le variabili considerate nella sommatoria sono indipendenti e ugualmente distribuite, (2) se le variabili sono indipendenti e diversamente distribuite. Il termine “si avvicina” non va inteso nel senso matematico di limite ma è più opportuno leggerlo come “viene approssimata da”. Infine, il termine “grande” dipende dalla bontà dell’approssimazione richiesta e dalla natura delle distribuzioni delle variabili presenti nella somma.

Distribuzioni limite La distribuzione normale

Distribuzioni limite La distribuzione normale Variabile standardizzata

Modello limite dell’operatore valore estremo Sia Z la variabile massimo di n variabili casuali Xi La sua funzione di probabilità cumulata è: Se tutte le Xi sono indipendenti:

Modello limite dell’operatore valore estremo Nel caso in cui tutte le Xi abbiano la medesima distribuzione di probabilità, si ha:

La distribuzione di Gumbel Da prima: Se le variabili Xi sono indipendenti fra di loro ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica Xi può essere approssimata dalla seguente legge: con g(x) monotona crescente, allora:

La distribuzione di Gumbel La media e la varianza della popolazione si stimano con la media e la varianza campionaria Sostituendo le stime della media e della varianza della popolazione nel sistema è possibile stimare i coefficienti u e .

La variabile ridotte di Gumbel Sia: Ne segue che la distribuzione di probabilità cumulata di Y è: dove Pertanto:

La variabile ridotte di Gumbel Da questo segue: Ma essendo

Il piano di Gumbel Quindi: 2 4 6 2 10 50 100 2 4 6 2 10 50 100 Pertanto nel piano di Gumbel la variabile Z è legata alla variabile ridotta Y da una legge lineare che mostra u come intercetta (parametro di posizione) e  come parametro che ne descrive la pendenza (parametro di scala).

Il piano di Gumbel

Plotting position Per riportare i punti campionari nel piano di Gumbel si procede nel seguente modo: Si ordina il campione in modo crescente Si stima la frequenza campionaria con una formula del tipo: dove N è il numero dei dati che compongono il campione a e b variano a seconda della formula: nel caso di Gringorten a= 0,44 e b=0,12 i è la posizione del i-esimo valore nel campione ordinato Si associa la frequenza campionaria stimata alla variabile ridotta di Gumbel nel seguente modo:

Plotting position Si formano le coppie xi,yi dove xi è il valore numerico del dato campionario che occupata la i-esima posizione nel campione ordinato in modo crescente

La distribuzione EV2 Le variabili Xi sono indipendenti fra di loro ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica Xi può essere approssimata dalla seguente legge: allora:

La distribuzione EV2 Riportiamo la distribuzione EV2 sul piano di Gumbel Introduco una prima variabile ridotta: Da prima: quindi:

La distribuzione EV2 Però non è ancora la variabile ridotta di Gumbel Introduco una seconda variabile ridotta:

La distribuzione EV2 2 4 6 2 10 50 100 Poiché k<0 la curva Z2=f(Y1) ha una concavità rivolta verso l’alto e andamento esponenziale

La distribuzione EV2

La distribuzione EV2 Essendo Si ha:

La distribuzione EV2 Operativamente

La distribuzione EV3 Le variabili Xi sono indipendenti fra di loro ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica Xi può essere approssimata dalla seguente legge: allora:

La distribuzione EV3 Riportiamo la distribuzione EV3 sul piano di Gumbel Introduco una prima variabile ridotta: Da prima: quindi:

La distribuzione EV2 Introduco una seconda variabile ridotta:

La distribuzione EV2 2 4 6 2 10 50 100 Poiché k>0 la curva Z3=f(Y1) ha una concavità rivolta verso il basso

La distribuzione GEV 2 4 6 2 10 50 100