LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ? Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. Ma, in generale, questa definizione non basta. La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P. DEFINIZIONE Retta tangente a una curva La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE DEFINIZIONE Rapporto incrementale Dati una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c) il numero: . Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B.

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 2. IL RAPPORTO INCREMENTALE ESEMPIO Data la funzione y = f(x) = 2x2 – 3x , e fissati il punto A di ascissa 1 e un incremento h, determiniamo il rapporto incrementale. f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) = = 2(1 + 2h + h2) – 3 – 3h = = 2 + 4h + 2 h2 – 3 – 3h = = – 1 + h + 2 h2 , f (1) = – 1 , .

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3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE Derivata di una funzione Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], si chiama derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, e si indica con f ' (c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c: . La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.

3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Condizione di esistenza della derivata La derivata di f esiste in c se: - la funzione è definita in un intorno di c; Rapporto incrementale e derivata Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coefficiente angolare della retta tangente. - esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0; - il limite è un numero finito.

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4. CALCOLO DELLA DERIVATA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 4. CALCOLO DELLA DERIVATA ESEMPIO Calcoliamo il valore della derivata della funzione: y = x2 – x in x = 3. ESEMPIO Calcoliamo la funzione derivata della funzione: y = 4x2 . . . . .

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5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE Derivata sinistra La derivata sinistra di una funzione in un punto c è . ESEMPIO Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0. , I valori non coincidono: . DEFINIZIONE Derivata destra La derivata destra di una funzione in un punto c è . la derivata completa non è definita in 0. Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali.

5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA DEFINIZIONE Funzione derivabile in un intervallo Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. ESEMPIO Riprendiamo la funzione y = |x| e verifichiamo la derivabilità in [0; 2] . Dal calcolo precedente, sappiamo che esiste la derivata destra in 0; nel resto dell’intervallo la funzione è derivabile perché y = x è derivabile in R. La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2] .

6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Retta tangente ad un grafico /16 Retta tangente ad un grafico

/16 Punti stazionari l’equazione della tangente è del tipo y = k, ossia il suo coefficiente angolare è 0. Ciò significa che, in quel punto, la derivata è uguale a 0.

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Punti di non derivabilità: flessi a tangente verticale /16 Punti di non derivabilità: flessi a tangente verticale

Punti di non derivabilità: le cuspidi /16 Punti di non derivabilità: le cuspidi I punti come C e D dei grafici della figura si chiamano cuspidi: C verso il basso, D verso l’alto

Punti di non derivabilità: i punti angolosi /16 Punti di non derivabilità: i punti angolosi

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Continuità e derivabilità /16 Continuità e derivabilità Il teorema afferma che la derivabilità di una funzione implica la continuità, e poiché il viceversa non è vero si può allora concludere che la continuità è una condizione necessaria, ma non è sufficiente per la derivabilità.

Continuità e derivabilità /16 Continuità e derivabilità

LE DERIVATE FONDAMENTALI /16 LE DERIVATE FONDAMENTALI

LE DERIVATE FONDAMENTALI /16 LE DERIVATE FONDAMENTALI

LE DERIVATE FONDAMENTALI /16 LE DERIVATE FONDAMENTALI

LE DERIVATE FONDAMENTALI /16 LE DERIVATE FONDAMENTALI

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata del prodotto di una costante per una funzione

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata della somma di funzioni

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata del prodotto di funzioni

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata del reciproco di una funzione

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata del quoziente di due funzioni

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata del quoziente di due funzioni

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivatadi una funzione composta

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di una funzione composta

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di una funzione composta

/16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di una funzione composta

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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse /16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse

TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse /16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse

TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse /16 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata delle funzioni inverse

LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO /16 LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO

LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO /16 LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE I parametri sono costanti rispetto alla variabile t.

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica

IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica

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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica /16 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione geometrica

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la velocità /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la velocità

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: l’accelerazione /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: l’accelerazione

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la corrente /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la corrente

LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la corrente /16 LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la corrente