CONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x0 un punto interno all’intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per x x0 e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0 : . Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE TEOREMA DI WEIERSTRASS Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, un valore minimo e un valore massimo. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE TEOREMA DEGLI ZERI Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto x0 , interno ad a; b, in cui è f(x0) = 0. IPOTESI f(x) è continua in a; b TESI esiste almeno un punto x0 , interno ad a; b, in cui è f(x0) = 0

RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’ EQUAZIONE METODO DELLA BISEZIONE Il metodo algoritmico più semplice per la ricerca delle radici (ossia delle soluzioni) di un'equazione del tipo f(x) = 0 consiste nel metodo di bisezione (applicazione del Teorema degli zeri). Esso è un metodo iterativo: ad ogni passo l'intervallo [a , b] è suddiviso in due parti uguali e si determina in quale dei due intervalli ottenuti è contenuto lo zero.

Esempio: n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/16 4 1/32

Esempio: n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 -1 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/16 4 1/32

Esempio: n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 - -1 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/16 4 1/32

Esempio: n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 - -1 + 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/16 4 1/32

Esempio: Valore medio n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 - -1 + -1,5 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/16 4 1/32

Esempio: n an f(an) bn f(bn) XM f(XM) ε -2 - -1 + -1,5 1/2 1 -1.75 1/4 2 -1.5 -1.625 1/8 3 -1.562 1/16 4 -1.531 1/32