FUNZIONI GONIOMETRICHE

(seconda relazione fondamentale della goniometria) La tangente di un angolo può essere definita geometricamente nel piano cartesiano a partire dalla circonferenza goniometrica. Dato un angolo di ampiezza α , di vertice O, con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, si definisce tangente dell’angolo l’ordinata del punto T , intersezione dell’altro lato e della retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A. Considerando l’angolo di ampiezza α ad esso corrispondono i due valori numeri numerici sen α e cos α. Se cos α è diverso da 0, è possibile calcolare il rapporto: sen α/cos α= tan α (seconda relazione fondamentale della goniometria)

Finchè B percorre il primo quarto di circonferenza l’ordinata e l’ascissa di T sono positive. Quando B raggiunge il punto F la tangente non esiste perché X di T è uguale a zero. Questo succede quando l’angolo a π/2 o a 3/2 π o ad un altro valore che si ottiene aggiungendo multipli interi di π, a π/2. Quindi la tangente esiste solo se α ≠ π/2 + kπ con k ϵ Z.

Grafico della funzione y= tan x nell’intervallo 0-π Con valori di x minori di π/2, il valore della funzione tende a diventare sempre più grande, tendendo quindi a + ∞. Con valori di x maggiori di π/2, il valore della funzione tende a diventare sempre più grande in valore assoluto ma con segno negativo, tendendo quindi a - ∞. Con valori di x che si approssimano a π/2, il grafico della tangente si avvicina sempre più alla retta di equazione X = π/2, detta asintoto del grafico.

Periodo della funzione tangente La tangente è una funzione periodica di periodo π: tan α = tan(α + kπ) con k ϵ Z. Il grafico completo si chiama tangentoide ed ha infiniti asintoti verticali di rette di equazione x = π/2 + Kπ

Proprietà della funzione tangente La funzione tangente ho per dominio R-(π/2 + kπ) e codominio R La funzione tangente ha infiniti asintoti verticali di equazione x = π/2 + Kπ La funzione tangente e’ una funzione dispari quindi e’ simmetrica rispetto all’origine

Funzione Cotangente La cotangente di α è la funzione che associa ad α il rapporto fra l’ascissa e l’ordinata del punto B: cot α= x/y. Il rapporto non esiste quando y=0 cioè quando l’angolo misura 0, π o suoi multipli interi, quindi cot α esiste solo se α ≠ kπ. Cot α= cos α/sen α. La cotangente è il reciproco della tangente ma quando viene considerata come tale la condizione è α ≠kπ/2

Il codominio della cotangente è R mentre il dominio è R – (Kπ). Le rette di equazione x= Kπ sono asintoti verticali del grafico. La funzione cotangente ha come periodo π: cot(α + kπ) con Kϵ Z.

FUNZIONE SECANTE E COSECANTE Consideriamo la circonferenza goniometrica e l’angolo α e la tangente in P che interseca gli assi in S ed in C. I triangoli AOP e SOP sono simili quindi: OA:OP=OP:OS cos α:1=1: OS da cui OS= 1/cos α = sec α. Analogamente, essendo simili i triangoli AOP e POC: PA:OP=OP:OC sen α:1=1:OC da cui OC=1/sen α = csc α La secante di α è quindi l’ascissa del punto S, l’intersezione della retta tangente nel punto P alla circonferenza goniometrica e l’asse delle x. La cosecante di α è l’ordinata del punto C , intersezione della retta tangente con l’asse y. A

GRAFICO DELLA FUNZIONE SECANTE La funzione secante non è definita per α= π/2 +k π quindi il suo dominio è: R-(π/2 +k π) con k ϵ Z. E’ una funzione pari ed è una funzione periodica di periodo 2π. Ha come asintoti verticali le rette di equazione y= π/2 +k π

GRAFICO DELLA FUNZIONE COSECANTE La funzione cosecante non è definita per α= k π quindi il suo dominio è: R-(k π ) con k ϵ Z. E’ una funzione pari ed è una funzione periodica di periodo 2π. Ha come asintoti verticali le rette di equazione y= 0 + k π.

FUNZIONI GONIMETRICHE INVERSE Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biunivoca. La funzione Y= sen x non è biunivoca perché non è iniettiva in quanto se consideriamo una retta Y=K, parallela all’asse x, con -1<K< 1, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore del codominio di Y=sen X è il corrispondente di infiniti valori del dominio R. Dobbiamo quindi restringere il dominio della funzione seno all’intervallo (-π/2; π/2), in questo modo la funzione Y= sen x risulta biunivoca e quindi invertibile.

FUNZIONI GONIMETRICHE INVERSE FUNZIONE ARCOSENO Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biunivoca. La funzione Y= sen x non è biunivoca perché non è iniettiva in quanto se consideriamo una retta Y=K, parallela all’asse x, con -1<K< 1, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore del codominio di Y=sen X è il corrispondente di infiniti valori del dominio R. Dobbiamo quindi restringere il dominio della funzione seno all’intervallo (-π/2; π/2), in questo modo la funzione Y= sen x risulta biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa del seno si chiama arcoseno. Per ottenere il grafico della funzione Y=arcsin X, basta costruire il simmetrico del grafico della funzione Y=sen x,considerata nell’intervallo (- π/2; + π/2), rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

FUNZIONE ARCOCOSENO La funzione coseno nel dominio (o;π) risulta biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa del coseno è l’arcocoseno. Per ottenere il grafico della funzione Y=arccos X, basta costruire il simmetrico del grafico della funzione Y=cos x,considerata nell’intervallo (0;+ π), rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

FUNZIONE ARCOTANGENTE La funzione tangente nel dominio (- π/2; + π/2) risulta biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa della tangente è l’arcotangente. Per ottenere il grafico della funzione Y=arctan X, basta costruire il simmetrico del grafico della funzione Y=tan x,considerata nell’intervallo (- π/2; + π/2), rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

FUNZIONE ARCOCOTANGENTE La funzione cotangente nel dominio (0;+ π), risulta biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa della cotangente è l’arcocotangente. Per ottenere il grafico della funzione Y=arccot X, basta costruire il simmetrico del grafico della funzione Y=cotan x,considerata nell’intervallo (0;+ π), rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.