Logica 16-17

Lezione 6 17 ottobre

Quando recuperiamo la lezione persa? Proposta: lunedì 24 ottobre ore 9

sillogismo tutti gli A sono B tutti i B sono C  tutti gli A sono C Ma siamo andati al di là della logica proposizionale, che ci consente solo questo: P Q  R

(1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle Mario ha macchie rosse sulla pelle  Mario ha la rosolia (2) se nevica, fa freddo fa freddo  nevica

affermazione del conseguente Se P, allora Q. Q.  P INVALIDO Ma questa potrebbe essere una discreta abduzione: (1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle Mario ha macchie rosse sulla pelle  Mario ha la rosolia

Varzi su affermazione del conseguente Malgrado alcuni esempi di questa forma siano argomentazioni valide, altri non lo sono. Ecco un esempio [?] che è valido (e anche fondato): (5) Se aprile precede maggio, allora aprile precede maggio e maggio segue aprile. Aprile precede maggio e maggio segue aprile.  Aprile precede maggio (Varzi, p. 50) Siete d'accordo?

(1) Se P allora P e Q (2) P e Q  (3) P Ma è la forma argomentativa (invalida) "affermazione del conseguente" che ci permette di arrivare a (3) da (1) e (2)?

NO! La forma argomentativa usata è l'eliminazione della congiunzione: P e Q  P (1) Se P allora P e Q (2) P e Q  (3) P

Forma logica comune a singoli enunciati (1) O piove o non piove (2) O è colpevole il maggiordomo o non lo è Qual è la forma comune?

la legge del terzo escluso P o non si dà il caso che P (1) P = piove (2) P = il maggiordomo è colpevole verità in ogni situazione concepibile (in ogni mondo possibile) (v. Varzi p. 71)

Qual è la forma comune? (1) Nevica e fa freddo (2) Mario è scaltro, ma onesto

contingente P e Q (1) P = piove, Q = fa freddo (2) P = Mario è scaltro, Q = Mario è onesto verità in alcune situazioni (mondi possibili)

Qual è la forma comune? (1) piove e non piove (2) Mario è onesto sebbene non lo sia

contraddizione P e non si dà il caso che P (1) P = piove (2) P = Mario è onesto verità in nessuna situazione (mondo)

Operatori logici (connettivi) Unario: Non si dà il caso che ~ Binari: E & O … o  Se … allora  Se e solo se 

Negazione Marcello è tra i vincitori (= P) Negazioni di P: Non si dà il caso che Marcello sia tra i vincitori Marcello non è tra i vincitori Non è vero che Marcello è tra i vincitori ~P

Congiunzione Franco è italiano e Sam è inglese. Alberto correva ma Anna era immobile. Sebbene piovesse, Tommaso non apriva l’ombrello Luisa è a casa mentre i suoi amici sono al cinema. P & Q

intermezzo sulla congiunzione (1) Sebbene fosse impacciato nell'esposizione, Mario ha risposto bene a tutte le domande Quindi, merita trenta e lode (2) Mario ha risposto bene a tutte le domande, ma è stato impacciato nell'esposizione,

Condizionale Se nevica allora fa freddo nevica solo se fa freddo se nevica fa freddo P  Q

Bicondizionale nevica se e solo se fa freddo P  Q

Condizioni sufficienti P è condizione sufficiente per Q Esprimere usando un singolo operatore logico

P è condizione sufficiente per Q P  Q se P allora Q Q, se P P solo se Q

Condizioni necessarie P è condizione necessaria di Q Esprimere usando un singolo operatore logico Q  P P, se Q Q solo se P

Condizioni necessarie e sufficienti P è condizione necessaria e sufficiente di Q Esprimere utilizzando un singolo operatore logico

P è condizione necessaria e sufficiente di Q P  Q P se e solo se Q P se Q (ossia, Q è sufficiente affinché si realizzi P) e solo se Q (ossia, Q è necessario affinché si realizzi P)

Forme enunciative e argomentative Possiamo riscrivere le forme enunciative (per es. "non si dà il caso che P", "P e Q") e le forme argomentative utilizzando i simboli logici. Per esempio: Legge del terzo escluso: P  P Modus ponens: P, P  Q |– Q NB: |– (segno d'asserzione) corrisponde a  A rigore si usano le parentesi: (P  Q)

Formalizzazione Il processo di formalizzazione ("simbolizzazione") trasforma ("traduce") un enunciato o un’argomentazione formulati in italiano in una forma enunciativa o una forma argomentativa, rispettivamente, ossia in una struttura composta di lettere enunciative e operatori logici. Le lettere enunciative non hanno significato di per sé, ma nel contesto di un particolare esercizio possono essere interpretate come espressioni per asserzioni o proposizioni (in questo senso sono "variabili") Gli operatori logici invece sono "costanti (logiche)", perché attribuiamo loro sempre lo stesso significato.

Ambiguità lessicale L'uso di simboli logici specifici ci permette di evitare l'ambiguità lessicale "leva" = 3a pers. sing. pres. ind. di "levare" un oggetto che serve a sollevare "o" = vel aut  = vel

Lezione 7 18/10/16

Recupero Lunedì 24 ottobre ore 9

intermezzo sulle forme argomentative (1) piove o nevica e fa freddo quindi, fa freddo (2) o viene Mario oppure viene Giorgio e faremo una bella festa quindi, faremo una bella festa Qual è la forma comune? E' una forma valida?

Ambiguità strutturale L'uso delle parentesi ci permette di evitare l'ambiguità strutturale Piove o nevica e fa freddo ((P  N) & F)) da cui si può correttamente inferire F (P  (N & F)) da cui NON si può correttamente inferire F Le parentesi esterne le possiamo togliere per semplicità, ma a rigore vanno messe per motivi che vedremo.

Esempi Risolvere le ambiguità strutturali dando l'interpretazione più plausibile (1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F] (2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V, R] (3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure apre le finestre [usare B, R, A]

(1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F]

(2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V, R]

(3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure apre le finestre [usare B, R, A] (R  A)  B

Il linguaggio della logica proposizionale (i) Lettere enunciative: Qualunque lettera maiuscola può essere impiegata come lettera enunciativa. Inoltre, ‘P1’, ‘P2’, ‘P3’, ecc., sono tutte lettere enunciative distinte da ‘P’. Operatori logici: , &,  , , . Parentesi: (, )

Il linguaggio della logica proposizionale (ii) (1) Qualunque lettera enunciativa è una fbf. (2) Se  è una fbf, allora lo è anche  . (3) Se  e  sono fbf, allora lo sono anche ( &  ), (   ), (   ) e (   ). (4) Tutto ciò che non risulta classificabile come fbf in base a queste tre regole non è una fbf.

Metalinguaggio vs. linguaggio oggetto linguaggio oggetto: , &,  , , , P, Q, ecc. Metalinguaggio: |– , ,  , ecc.

Esempi Formule che sono fbf: (B  (V & R)) ((R  A)  B) (((P&Q) & R) & P1) Formule che NON sono fbf:  B))  (V & R  A (A RIGORE NON LO E')

Complessità di una fbf E' il numero di occorrenze di operatori nella fbf Esempi. Mettiamo queste fbf in ordine di crescente complessità: (P & Q) v (Q & P) ((R  A)  B) P  P

P  P ((R  A)  B) (P & Q) v (Q & P)

Sotto-fbf Le fbf possono contenere altre fbf al loro interno. Per es. ((R  A)  B) contiene A, B, R R (R  A) come caso limite diciamo che contiene anche se stessa: ((R  A)  B)

Impariamo a scrivere in ordine di complessità tutte le sotto-fbf di una certa fbf: (P & Q) v (Q & P)

P Q (P & Q) P (Q & P) (P & Q) v (Q & P) NB: a parità di complessità possiamo privilegiare l'ordine da sinistra a destra

Ambito Una particolare occorrenza di un operatore in una fbf, insieme a quella parte della fbf a cui l’occorrenza dell’operatore si applica, è chiamata ambito di quell’occorrenza dell’operatore. In altre parole, l’ambito di un’occorrenza di un operatore in una fbf è la più piccola sfbf che contiene quell’occorrenza.

Esempio Nella formula ‘(P & (Q   R))’ (1) l’ambito della prima occorrenza di ‘’ è ‘ P’, (2) l'ambito della seconda occorrenza di ‘’ è ‘ R’, (3) l’ambito di ‘’ è ‘(Q   R)’ (4) l’ambito di ‘&’ è l’intera formula.

Operatore principale Ogni fbf composta ha uno e un solo operatore il cui ambito è l’intera fbf. Questo è chiamato operatore principale della fbf. Una fbf il cui operatore principale sia ‘&’ (indipendentemente da quanti altri operatori contenga) è chiamata congiunzione; una fbf il cui operatore principale sia ‘’ è una negazione, e così via.

Lezione 8 19/10/16

Semantica della logica proposizionale L'idea base è che le costanti logiche esprimono "funzioni di verità" Valori di verità: V, F Assegneremo un significato preciso alle costanti logiche associando a ciascuna una tabella detta "tavola di verità"

Metodo delle tavole di verità Passeremo poi ad un metodo "vero-funzionale" che ci permette di distinguere in modo meccanico tra: (1) fbf tautologiche (verità logiche), contingenti e contraddittorie o inconsistenti (vero-funzionalmente) (2) forme argomentative (argomentazioni) valide e non valide (vero- funzionalmente)

Negazione Vedi tavola a p. 63 (qui come nel seguito il riferimento è al nostro libro di testo)

Congiunzione Vedi tavola a p. 63

disgiunzione (inclusiva) Vedi tavola a p. 64

condizionale materiale Vedi tavola a p. 65

Chiarimento sul condizionale materiale (i) L'interpretazione di "se ... allora" che vogliamo cogliere è quella secondo la quale dire "se P allora Q" è equivalente a "non P oppure Q" Esempio: "se vengo porto una torta" = "o non vengo oppure porto una torta"

Chiarimento sul condizionale materiale (ii) La tavola di verità per il condizionale materiale garantisce quindi che questa equivalenza sia una tautologia: (PQ)  (P v Q) Intuitivamente, il condizionale garantisce che non si passi mai dal vero al falso: (PQ) è falso solo nel caso in cui P è vero e Q è falso

Bicondizionale materiale v. tavola p. 66

Metodo per costruire la tavola di verità di una fbf (i) Una fbf  contiene una o più lettere enunciative A seconda che queste lettere corrispondano a proposizioni V o F, cambia il valore di verità di  Bisogna considerare tutti i casi possibili, assumendo che ciascuna lettera enunciativa può corrispondere a V oppure a F Per poi stabilire in ciascun caso il valore di verità di tutte le sotto-fbf, in ordine di complessità fino all'intera fbf 

Numero dei casi possibili Se n è il numero delle lettere enunciative in una certa fbf, allora i casi possibili sono 2n Perché 2 sono i valori di verità: V, F E' importante essere sicuri di considerare tutti i casi possibili. Consideriamo 3 situazioni tipiche: n = 1, 2, 3

n = 1 formule con una sola lettera enunciativa numero dei casi possibili = 21 = 2 Guardare tavola p. 69, 3.12

n = 2 formule con due sole lettere enunciative numero dei casi possibili = 22 = 4 Guardare tavola p. 67

n = 3 formule con 3 lettere enunciative numero dei casi possibili = 23 = 8 Guardare tavola parziale p. 69

Esempio con n = 1: il principio del terzo escluso P (P   P) ----------------------- V V V F V F F V V F Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi guardiamo il risultato sotto l'operatore principale: tautologia, principio del terzo escluso

Abbreviazione Possiamo abbreviare il lavoro scrivendo direttamente i valori di verità invertiti sotto il simbolo di negazione delle lettere enunciative negate. Vedi p. 70, 3.14 (principio del terzo escluso)

esempio con n = 2 v. inizio p. 69 Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi guardiamo il risultato sotto l'operatore principale.

esempio con n = 3 v. p. 72, 3.16 Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi guardiamo il risultato sotto l'operatore principale.

Esempio di formula inconsistente (contraddizione) p. 71, 3.5: tavola di verità per P & P

Principio di non contraddizione (P & P) Costruendo la tavola di verità, vediamo che è una tautologia

Il metodo in generale (i) Per costruire la tavola di verità, si scrive la formula nella parte in alto a destra della tavola e si elencano sulla sinistra, in ordine alfabetico, le lettere enunciative che essa contiene. Se il loro numero è n, si comincia scrivendo sotto la lettera all’estrema destra una colonna di 2n valori di verità, cominciando da una V e alternando le V e le F. A questo punto, sotto la successiva lettera a sinistra (se ve ne sono) si scrive un’altra colonna di 2n valori di verità, di nuovo cominciando con V, ma alternando V e F ogni due righe. Si ripete questa procedura muovendosi verso sinistra e duplicando ogni volta l’intervallo di alternanza, fino a ottenere una colonna con i V ed F sotto ciascuna lettera enunciativa.

Il metodo (iii) Infine, usando le tavole di verità degli operatori logici, si calcolano i valori della formula determinando in primo luogo i valori delle sue sfbf più piccole e proseguendo in modo da ottenere quelli delle sfbf di volta in volta più grandi. La colonna di ciascuna sfbf va sempre scritta sotto il suo operatore principale. Alla fine si evidenzia la colonna sotto l’operatore principale dell’intera fbf e si guarda il risultato

Il metodo (iv) Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo sempre V, abbiamo una tautologia Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo qualche volta V e qualche volta F, abbiamo una fbf contingente Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo sempre F, abbiamo una contraddizione

Tavole di verità e forme argomentative Si costruisce una tabella con le premesse e la conclusione in sequenza. Si controllano solo le righe in cui tutte le premesse sono vere. Se in quei casi la conclusione è vera, allora l'argomentazione è VALIDA Altrimenti, è INVALIDA

Esempio 1 guardare esempio p. 73: O la principessa o la regina presenzierà alla cerimonia. La principessa non presenzierà.  Presenzierà la regina. la forma è VALIDA

Esempio 2 3.19, p. 74: forma INVALIDA Se Piove, allora Qui fa freddo Quindi, Piove

Esempio 3 QUESTO ESEMPIO NON E’ STATO TRATTATO IN CLASSE 3.18, p. 74: forma VALIDA