Le Equazioni Lineari Definizione: Si dice equazione lineare o di primo grado un'equazione algebrica in cui il grado massimo delle incognite è uguale a uno. ax=b 1-Si portano tutti i valori dell’incognita x in un unico membro(attenzione al cambio del segno). 2- Si spostano a primo membro i termini contenenti l'incognita e a secondo membro i termini noti (numeri). 3- Si riducono i termini simili del primo membro e si effettuano i calcoli nel secondo membro, scrivendo l'equazione nella forma e poi dividendo per il coefficiente che moltiplica la x.

Tipi di equazioni Dopo aver eseguito questi 3 passaggi si possono verificare 3 casi: Equazione DETERMINATA : a diverso da 0,b diverso da 0 e che la x abbia un’unica soluzione Es. 12x-2=6+4x si spostano le x da una parte e i termini noti dall’altra 12x-4x=2+6 8x=8 x= x=1 Perciò x=1,quindi l’equazione si può dire determinata poichè esiste una sola soluzione per la x,che è 1. 8 8

Es 2 3(x-1) +2x = -3(2-x) +9 3x-3+2x = -6+3x+9 si eliminano poiché trasportando il -3x a sx diventano opposti e si annullano 2x = 3-6+9 2x = 6 2x 2 = 6 2 X=3 Questa equazione è determinata dato che la incognita ha un solo valore,che è 3.

Equazione indeterminata : si dice indeterminata un’equazione in cui sia a che b sono uguali a zero. Es. 12x-6=12x -6 si spostano le x da una parte e i termini noti dall’altra 12x-12x=6-6 0x=0 Si ottiene un'equazione del tipo 0x = 0 che è vera per qualsiasi valore attribuito all'incognita x, dato che qualunque numero moltiplicato per zero dà zero.

Es 2 -6x+7 = 6x +7 si eliminano poiché trasportandoli a sx o a dx diventano opposti e si annullano 0 =0 Abbiamo così ottenuto un'equazione che è sempre vera per ogni valore di x (questo perchè non compare l'incognita x), per cui l'equazione ha infinite soluzione ed è quindi indeterminata.

Equzione impossibile: si dice impossibile un’equazione nella quale a=0 ma b diverso da 0 (0x=b) in cui non è verificata per alcun valore dell'incognita x perché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero. Es. 2x+1=2x-3 si spostano le x da una parte e i termini noti dall’altra 2x-2x = -4 0x=-4 Si ottiene un'equazione del tipo 0x = b che non è verificata per alcun valore dell'incognita x perché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.

Es 2 2x−5=x+4+x Riducendo i termini simili nel secondo membro si ha 2x−5=2x+4 si eliminano poiché trasportando il -2x a sx diventano opposti e si annullano -5 = 4 Essendo il primo membro e il secondo membro sempre diversi, l'equazione è impossibile.

Principi di equivaleza Si hanno due principi di equivalenza . Primo principio di equivalenza: Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Data l'equazione 4x - 2 = 6 che ha soluzione x = 2; se si addiziona a entrambi i membri il numero 4 si ottiene l'equazione 4x - 2 + 4 = 6 + 4 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.

Conseguenze: Regola del trasporto: In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro, purché si cambi segno. Regola della cancellazione: Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare.

Secondo principio di equivalenza: Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente a quella data. data l'equazione 4x - 2 = 6 che ha soluzione x = 2; se si moltiplicano entrambi i membri per il numero 3 si ottiene l'equazione 3(4x - 2)= 3 - 6, ossia svolgendo i calcoli 12x - 6 = 18 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.

Cambio Segno: Denominatore comune: Conseguenze: Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Denominatore comune: Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.