IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ DEFINIZIONE Evento Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere o non accadere. DEFINIZIONE Probabilità La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u, quando sono tutti ugualmente possibili. Se è l’evento contrario di E, cioè l’evento che si verifica se e solo se non si verifica E, si ha:

1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ

2. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 2. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI TEOREMA Probabilità della somma logica di due eventi La probabilità della somma logica di due eventi E1 ed E2 è uguale alla somma delle loro probabilità diminuita della probabilità del loro evento intersezione: p(E1 E2 )=p(E1)+p(E2)-p(E1 E2 ). In particolare, se gli eventi sono incompatibili: p(E1 E2 )=p(E1)+p(E2). TEOREMA Teorema della probabilità totale Dati n eventi a due a due incompatibili E1, E2, …, En, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro singole probabilità: p(E1 E2 … En)= =p(E1)+p(E2)+…+p(En).

2. LA PROBABILITÀ E LA SOMMA LOGICA DI EVENTI IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 2. LA PROBABILITÀ E LA SOMMA LOGICA DI EVENTI

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA L'INTEGRALE INDEFINITO 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA DEFINIZIONE Probabilità condizionata Dati due eventi E1 ed E2 tali che E1 U, E2 U ed E1 E2, si dice probabilità condizionata (o subordinata) di E1 rispetto a E2, e si indica p(E1|E2), la probabilità che si verifichi E1 nell’ipotesi che E2 sia verificato. TEOREMA La probabilità condizionata di un evento E1 rispetto a un evento E2, non impossibile, è determinata dalla formula: , con p(E2) ≠0.

3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI TEOREMA Teorema della probabilità composta La probabilità dell’evento composto o prodotto logico degli eventi E1 ed E2 è uguale al prodotto della probabilità dell’evento E1 per la probabilità dell’evento E2 nell’ipotesi che E1 si sia verificato: . In particolare, nel caso di eventi stocasticamente indipendenti:

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI INDIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI INDIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI INDIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI

4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI

5. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE TEOREMA Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli) Dato un evento E sottoposto a n esperimenti indipendenti ognuno con probabilità p costante di verificarsi, essendo q=(1-p) la probabilità che ha l’evento di non verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n prove è: .

5. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE

6. IL TEOREMA DI BAYES Il teorema di Bayes La probabilità che, essendosi verificato un evento E, la causa che sta alla sua origine sia l’evento Ei, con i=1, 2, …, n è: , dove p(E) è la probabilità dell’evento totale: .

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Uno studente deve sostenere un esame Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabilità 99 %, ma se va alla festa da ballo la sera prima la sua probabilità di promozione si riduce al 50 %. Deciderà di andare alla festa se esce testa lanciando una moneta equa. Se egli supera l'esame qual è la probabilità che sia andato a ballare?

La probabilità richiesta dal problema si determina applicando il teorema di Bayes, ovvero:

In una data città americana risulta che 30 % dei votanti sono Conservatori, 50 % sono Liberali ed il 20 % sono Indipendenti. Se in una data elezione hanno votato rispettivamente il 65 %, l'82 % ed il 50 % dei Conservatori, Liberali ed Indipendenti, se si sceglie a caso una persona nella stessa città che non ha votato, qual è la probabilità che sia Liberale?

ESEMPI: DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: DEFINIZIONE DI PROBABILITA’

L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: EVENTO UNIONE

ESEMPI: EVENTO INTERSEZIONE L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: EVENTO INTERSEZIONE

ESEMPI: EVENTI INCOMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: EVENTI INCOMPATIBILI

ESEMPI: EVENTI INCOMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: EVENTI INCOMPATIBILI

ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI

ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI

ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI

ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI L'INTEGRALE INDEFINITO / 9 ESEMPI: TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI