Insiemi e logica Insiemi e operazioni insiemistiche Prodotto cartesiano Logica degli enunciati Logica dei predicati Predicati e insiemi Implicazioni e equivalenze logiche Quantificatori

Logica degli enunciati In matematica si chiama proposizione o enunciato ogni espressione linguistica o frase per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa. In altre parole un enunciato è una frase alla quale ha senso associare uno e uno solo dei due valori di verità: vero o falso (che indicheremo con V e F rispettivamente) Ad esempio sono enunciati le seguenti frasi: "La Luna è un satellite" "9 è multiplo di 4“ Mentre non sono enunciati le seguenti: "Quest'anno sarò promosso" "Che ora è?“ Assumeremo come primitivi, e quindi non definiremo, i concetti di vero e falso.

Operazioni con le proposizioni Abbiamo visto che si possono eseguire operazioni con gli insiemi. Anche con le proposizioni si possono eseguire operazioni: due o più proposizioni si possono connettere tra loro in modo da ottenere una nuova proposizione. A tal scopo si usano locuzioni quali e, o, se... allora, se e solo se, ... A ognuno di questi connettivi corrisponde un'operazione elementare: mediante essi, a due proposizioni date in un certo ordine si fa corrispondere una terza e nuova proposizione. Similmente, la locuzione “non”, detta operatore di negazione, fa corrispondere a un enunciato la sua negazione. La parte della logica che si occupa delle operazioni con le proposizioni prende il nome di calcolo delle proposizioni o calcolo degli enunciati; essa ha anche una notevole importanza nella teoria e nell'applicazione degli elaboratori elettronici.

Congiunzione di due proposizioni La particella «e», quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato di «e contemporaneamente», corrisponde in logica al connettivo congiunzione (simbolo /\ ). Si definisce congiunzione di due proposizioni p e q e si indica con p/\q (si legge «p e q» o meglio ancora, usando il latino, «p et q») la proposizione che è vera se p e q sono contemporaneamente vere, mentre è falsa in ogni altro caso. Per rendere più evidente la definizione data, si introduce di solito la tavola di verità dalla quale risultano i valori di verità della congiunzione p/\q P q V F p

ESEMPIO Consideriamo, per esempio, i seguenti due enunciati veri a: 12 è divisibile per 3 b: 12 è divisibile per 2 Facendo la loro congiunzione si ottiene l'enunciato vero 12 è divisibile per 3 e per 2. Consideriamo, invece, le proposizioni r: 24 è multiplo di 6 (vera) s: 24 è multiplo di 7 (falsa). La congiunzione da l'enunciato falso 24 è divisibile per 6 e per 7.

Disgiunzione di due proposizioni La particella «o», quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di «oppure» (in senso alternativo come il vel latino), corrisponde in logica al connettivo disgiunzione (simbolo V). Si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q e si indica con il simbolo (si legge «p o q» o, meglio ancora, usando il latino, «p vel q») la proposizione che è vera, se almeno una delle due proposizioni è vera, ed è falsa, se entrambe le proposizioni sono false. Poiché la verità di p V q si verifica nel caso di verità o solo di p o solo di q o di entrambe le proposizioni, questa disgiunzione è detta anche alternativa. La tavola di verità è la seguente p q pVq V F F F V F

Esempi Consideriamo, per esempio, gli enunciati a: 21 è divisibile per 7 (vero) b: 21 è pari (falso). L'enunciato a V b: 21 è divisibile per 7 oppure è pari è vero (poiché è vero a). Consideriamo, invece, le proposizioni h: 3 è maggiore di 7 (falsa) k: 3 è divisibile per 2 (falsa) La proposizione h V k: 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2 è falsa (essendo false entrambe le proposizioni componenti).

Negazione di una proposizione La particella «non» del linguaggio ordinario corrisponde in logica all'operatore negazione. Si dice negazione di un enunciato p e si indica con (si legge «non p» oppure «p negato») quell'enunciato che è falso se p è vero ed è vero se p è falso. La tavola di verità che definisce la negazione è la seguente p V F

Esempi Si consideri la proposizione vera p: il rettangolo ha quattro angoli retti. La proposizione è falsa ed è la seguente : il rettangolo non ha quattro angoli retti. Si consideri l'enunciato falso p: 10 è divisibile per 3. L'enunciato è ovviamente vero: : 10 non è divisibile per 3. Consideriamo un enunciato p e supponiamo che sia vero; la sua negazione not p sarà pertanto falsa. La negazione di not p, ossia not(not p), in base alla definizione di negazione data al paragrafo precedente, risulterà perciò vera. Viceversa, se p è falso, not p risulterà vero e quindi not(not p) sarà falso. Sintetizzando, si può dire che p ha lo stesso valore di verità di p ossia, come si usa dire, in logica due negazioni affermano. Si noti che ciò non sempre accade nella lingua italiana.