PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI La teoria dei grafi Università di Cagliari DICAAR – Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale e architettura Sezione Trasporti PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI La teoria dei grafi A.A. 2016-2017 Prof. Italo Meloni

Definizione di grafo e rappresentazione La struttura della rete è rappresentata mediante un grafo: è definito da un insieme N di elementi detti nodi e da un insieme L di coppie di nodi di N detti archi. G = (N,L) I grafi utilizzati per le reti di trasporto sono grafi orientati: gli archi hanno un verso di percorrenza e le coppie di nodi sono coppie ordinate (ij) ≠ (ji) e l’arco (ij) si dice orientato. In un arco orientato il primo nodo si dice nodo iniziale e il secondo nodo finale.

Definizione di grafo e rappresentazione Cammino (percorso o itinerario): una sequenza di archi nella quale il nodo finale di ciascun arco coincide con il nodo iniziale del successivo (5,1) (1,4) (4,3); Circuito: se il nodo iniziale del percorso coincide con quello finale (5,1) (1,4) (4,3) (3,5); 1 2 5 4 3 Grafo completo: quando ciascun nodo è collegato mediante un arco a ciascun altro nodo; nei sistemi di trasporto i grafi impiegati sono di solito NON COMPLETI Grafo connesso: se ciascun nodo è origine di almeno un itinerario che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo

Alberi di radice i Un grafo, privo di circuiti, nel quale esiste un solo itinerario che collega un nodo i con ciascun altro nodo si dice albero di radice i. Un albero è un esempio di grafo non connesso. In un grafo esistono diversi alberi aventi la stessa radice. Nelle reti di trasporto sono rilevanti solamente i percorsi che collegano coppie di nodi nei quali iniziano e terminano gli spostamenti. Tali nodi vengono chiamati CENTROIDI. Per un dato GRAFO, con un numero prefissato di nodi centroidi, è possibile elencare tutti i possibili percorsi privi di circuiti aventi un centroide come Ni e Nf

Alcuni alberi di radice 2 1 4 1 4 5 5 3 3 2 2 1 4 1 4 5 5 3 3 2 2

Grafo con percorsi possibili tra centroidi 1: 1 – 4 4 – 3 3 - 5 2: 1 – 2 2 – 5 3: 1 – 2 2 – 3 3 – 5 4: 5 – 1 Se i e j sono 2 centroidi, si definisce insieme dei percorsi connettenti i e j, Iij, l’insieme dei percorsi aventi i come nodo iniziale e j come nodo finale. 1 1 4 1 4 3 5 5 1 4 2 3 2 3 5 2 1 4 1 4 4 5 5 2 3 2 3 2 3

Rappresentazione numeriche dei grafi La rappresentazione numerica di un grafo può avvenire in forma matriciale o vettoriale. I nodi dell’insieme N sono di solito numerati con un numero intero. Per l’individuazione delle coppie costituenti l’insieme L di archi si impiegano diverse tecniche.

Matrici di adiacenza La matrice di ADIACENZA ha un numero di righe e di colonne pari al numero dei nodi. L’elemento della matrice è 1 se la coppia ij fa parte di N ovvero è un arco, viceversa 0. 1 2 3 1 2 3

Matrici di incidenza La matrice di INCIDENZA nodi-archi Ogni riga corrisponde a un nodo, ogni colonna ad un arco; Se il nodo i-esimo non appartiene all’arco corrispondente alla colonna j-esima l’elemento della matrice ij = 0; Se il nodo i-esimo appartiene all’arco j ed è nodo di origine l’elemento ij = 1 Se il nodo i-esimo appartiene all’arco j ed è nodo di destinazione l’elemento ij = -1 2-3 1-3 1 2 3 -1 1 2 3

Matrici di incidenza La matrice di incidenza nodi centroidi/percorsi Ciascuna riga corrisponde a una coppia di nodi centroidi O/D e ciascuna colonna ad un percorso. L’elemento ij della matrice è uguale ad 1 se la coppia di nodi i è collegata dall’arco j viceversa è uguale a 0. Ci consente di capire quanti percorsi collegano ogni coppia O/D. G ≡ {N, L} N ≡ {1, 2, 3, 4} L ≡ {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)} Centroidi origine {1,2,3} Centroide destinazione {4} grafo 1 2 3 4

Matrici di incidenza La matrice di incidenza nodi centroidi/percorsi 1 2 4 2 3 4 4 2 5 PERCORSI 4 1 2 3 1 3 4 3 4 6 (Percorsi) 1 2 3 4 5 6 (Coppie O/D) 1-4 2-4 3-4

Matrici di incidenza La matrice di incidenza archi-percorsi: ciascuna riga corrisponde ad un arco del grafo e ciascuna colonna ad un percorso. L’elemento ij della matrice (aij) è uguale ad 1 se l’arco corrispondente alla i-esima riga fa parte dell’itinerario corrispondente alla colonna j, viceversa è uguale a 0. Ci dice quante volte un arco appartiene ai percorsi, e quindi quanta probabilità ha di essere caricato dalla domanda. Coppie O-D 1-4 2-4 3-4 Percorsi 1 2 3 4 5 6 Archi

Stella in uscita In un grafo OGNI NODO è ORIGINE di una STELLA DI ARCHI che si dipartono da esso. Viene costruita attraverso due vettori a e b: Vengono riportati i nodi estremi delle varie stelle (archi di cui il nodo è origine) Vengono riportati i numeri che indicano la posizione assunta nel vettore a dall’ultimo nodo della stella in uscita La stella in uscita consente di descrivere la rete con la minima quantità di informazioni. Nodi a b 1 4 (1) (2) 2 3 (3) 5 (4) 6 (5) 9 (6) (7) (8) (9) posizioni

Grafi I GRAFI sono definiti come una coppia ordinata di insiemi: N, insieme di elementi detti NODI L, insieme di coppie di nodi N detti ARCHI Simbolicamente un grafo G è indicato G = (N, L) I grafi utilizzati nelle reti di trasporto sono in generale ORIENTATI: Gli archi hanno un verso Le coppie dei nodi che li definiscono sono coppie ordinate (ij ≠ ji) Un arco che collega le coppie di nodi ij indica il nodo iniziale i e quello finale j. Un arco può essere indicato anche con un unico indice che ne contraddistingue la posizione nella lista di tutti gli archi del grafo.

Rete Si definisce RETE un grafo a cui è associata una caratteristica quantitativa. In una rete di trasporto assumono particolare rilievo i percorsi (sequenze di archi) a cui si associano due tipi di variabili Costi Flussi

Costo generalizzato di trasporto È un importante parametro da associare a ogni arco nella definizione del sistema dei trasporti. È una variabile che sintetizza il valore medio delle voci di costo SOPPORTATE dagli utenti così come DA LORO PERCEPITE (il costo è molto soggettivo) nella effettuazione delle scelte di trasporto (più in particolare nella scelta del percorso e del modo). Sinteticamente, il Costo di Trasporto riflette la disutilità degli utenti a percorrere l’arco stesso: infatti lo spostamento produce utilità solamente al raggiungimento della destinazione, ma l’atto stesso dello spostamento genera unicamente una disutilità.

Costo generalizzato di trasporto Gli elementi che compongono il costo sono grandezze non omogenee. Se Cl è il costo dell’arco l-esimo, questo può essere formulato come somma di due componenti principali, “omogeneizzate” tramite i coefficienti β, il cui valore può essere stimato con un modello di scelta del percorso. Esistono anche altre caratteristiche difficilmente esplicitabili (comfort, sicurezza, affidabilità,…) alle quali vengono associati dei determinati parametri.

Ci-esimo arco = β1ti + β2Cmi Costo L’attraversamento di un arco è caratterizzato da Tempo di trasferimento: ti Alti costi monetari: Cmi (ad esempio costi d’esercizio) Ci-esimo arco = β1ti + β2Cmi Avremo tanti costi di arco quanti sono gli archi della nostra rete. Si definisce vettore dei costi di arco di una rete un vettore C la cui generica componente Ci è costituita dal costo sull’arco i- esimo.

Costi Si definisce costo di percorso Ck la somma dei costi d’arco degli archi appartenenti al percorso. Data una rete con vettore di costi d’arco C e data la matrice di incidenza archi-percorsi il vettore dei costi di percorso della rete è dato da Ck = Atc At : trasposta della matrice archi-percorsi c : vettore dei costi d’arco

Rete di trasporto con costi di arco e di percorso

Wj coefficiente di omogeneizzazione Flussi d’arco Si definisce Flusso d’arco fi il numero medio di utenti che nell’unità di tempo utilizza l’arco i (ovvero svolge lo spostamento e l’attività connessa con lo spostamento che l’arco rappresenta) Se gli utenti non sono omogenei (classi di veicoli diversi, di utenti etc.) si possono considerare i flussi separatamente o omogeneizzati: fi = Σj wjfij Wj coefficiente di omogeneizzazione Si definisce VETTORE dei flussi d’arco di una rete il vettore f di dimensioni nL x 1 la cui generica componente fi è costituita dal flusso sull’arco i (ij)

Flussi di percorso Fk = Σj wjFkj fi = Σk ajkFk f = AF Si definisce Flusso di percorso Fk il numero medio di utenti che nel periodo di riferimento percorre il percorso k Fk = Σj wjFkj Esiste una relazione tra fi e Fk fi = Σk ajkFk f = AF ajk= elemento della matrice di incidenza archi-percorsi A = matrice di incidenza archi-percorsi In genere in una rete si conoscono inizialmente i flussi di percorso e in seguito da questi si ricavano i flussi d’arco.

Rete di trasporto con flussi di arco e di percorso

Fasi funzionali per la costruzione del modello di rete di un sistema di trasporto bimodale

Esempio di grafo rappresentativo di un sistema stradale urbano

Rappresentazione di un’intersezione stradale con archi di corsa e di attesa

Grafi di un’intersezione stradale

Rappresentazione base di una rete

Stazionarietà intraperiodale Tutte le variabili significative (velocità, costi, flussi etc.) sono COSTANTI per diversi sottoperiodi del periodo di riferimento: VALORE MEDIO COSTANTE