Autocorrelazione dei residui Come può originarsi? Esempio: il modello ad aggiustamento parziale

Possibilità di Autocorrelazione (1) Abbiamo già stabilito come visualizzare: L’autocorrelazione può risultare da: Oppure, in termini più generali, abbiamo: Il processo AR(1) è uno stimatore molto robusto dell’autocorrelazione (partendo dal campione)

Possibilità di Autocorrelazione (2) La maggior parte della correlazione trasmessa da errori precedenti è catturata dall’impatto di e t-1 Eccezioni: Correlazioni stagionali o trimestrali; Correlazioni spaziali (hanno significati complessi) Nella maggior parte dei casi, correzioni AR(1) sono sufficienti

Autocorrelazione Positiva Se r è positivo abbiamo che gli errori tendono a mantenere lo stesso segno in osservazioni contigue (Autocorrelazione genuina) shock esterni dispiegano effetti per molto tempo (ad esempio investimenti pubblicitari, promozioni, etc. Visual Inspection: clustering effects (gruppi di errori con stesso segno).

Autocorrelazione Negativa Se r è negativo abbiamo termini di errore che tendono a cambiare segno (da negativi diventano positivi) per osservazioni contigue. Esiste un pattern ciclico nella distribuzione degli errori; Problemi particolarmente rilevanti nel caso dei dati economici; VI PRESENTO UN SIGNORE CHE TROVEREMO PIU’ AVANTI. IL “CORRELOGRAMMA”

Diagnosi Abbiamo già stabilito che i coefficienti sono unbiased; Possiamo utilizzare gli errori osservati per diagnosticare la presenza di autocorrelazione; Test: DW Studieremo la relazione tra residui e valori ritardati dei residui stessi

Il test D-W

Dunque D-W è uguale a 2 meno due volte la correlazione fra et et et-1 D-W è stato prefigurato per diagnosticare autocorrelazione del 1° ordine, ma è ora utilizzato come un test generale di specificazione del modello; Regola decisionale: quando c’è autocorrelazione?? La statistica D-W ha una distribuzione conosciuta (con bande di incertezza che dipendono dalla numerosità campionaria

La statistica Durbin-Watson è distribuita simmetricamente attorno al valore 2 Valori superiori a 2 indicano autocorrelazione negativa; Valori inferiori a 2 indicano autocorrelazione positiva; Eviews vi calcola il valore (proveremo a farlo anche manualmente).

Lagged Dependent Variables The Durbin Watson Statistic is not a valid test statistic when the equation includes a lagged dependent variable as one of the explanatory variables. Use instead the Durbin-h test statistic which is normally distributed:

Dove: dh: statistica D-W n = numerosità campionaria varianza del beta stimato sulla variabi- le ritardata

Trasformazioni GLS: come correggere l’autocorrelazione Partiamo da un modello generico Dove

Cochrane-Orcutt Method (r sconosciuto): Step 1: Applicare OLS al modello originale e calcolare: Dove et sono i residui (autocorrelati) del modello originale

Step 2: Ritardare il modello di un periodo e pre-moltiplicare per r: Step 3: sottrarre ora il modello originale per ottenere il modello “rho-differenced” :

Otteniamo: dove: Step 4: procedere alla stima con OLS (nel modello trasformato gli errori non sono correlati serialmente)

Nota tecnica Il metodo C-O stima un primo r (con gli errori OLS) Successivamente stima con GLS e ottiene e che utilizza per una nuova stima di r ….

Hildreth-Lu Method Equivalent to the Cochrane-Orcutt method. Use the rho-difference model, searching over a grid of different values for r between -1 and +1 selecting the value which minimizes the sum of squared residuals for the transformed model. Typical grid: r = -0.95, -0.90, -0.85, … , 0.85, 0.90, 0.95

Il problema dell’eteroschedasticità L’Eteroschedasticità costituisce una delle due possibili violazioni dell’assunzione E(ee’)=σ2In Specificatamente è la violazione dell’assunzione di varianza costante degli errori (Già visto) Se gli errori sono eteroschedastici, allora OLS produce ancora coefficienti unbiased, ma non BLUE Gli standard errors associati ai coefficienti sono distorti (ad es. non possiamo fare t-tests).

Diagnosi Ci sono molti test Tutti presuppongono che si determinino gli errori dell’equazione stimata e si controllino le varianze Goldfeld-Quandt White

Heteroskedasticity: Tests Goldfeld-Quandt test Ordinare le T osservazioni della X che si suppone correlata con ei2. Eliminare l’insieme centrale delle osservazioni centrali (1/5 è un numero ragionevole). Stimare due regressioni separate con entrambi i sub-campioni.

Il rapporto fra le varianze in campioni diversi si distribuisce secondo una F N1-K1 sono i gradi di libertà per la prima regressione e N2-K2 quelli della seconda

Tests di White Useful if Heteroskedasticity depends on more than one variable Stimare con OLS Ottenere gli errori al quadrato Stimare l’equazione generale: Sappiamo poi studiare la restrizione gamma=0

Rimedi: GLS ancora una volta Si consideri il caso semplice bivariato Y=a+bX+e con e eteroschedastico si definisca Y/σ=a/σ+b/σX+e/σ Abbiamo: Var(e/σ) = 1/σ2 Var(e) = σ2(1/σ2) = 1 Perciò: Y/σ=a/σ+b/σX+e/σ = Y*=a*+b*X*+u Può essere stimato con OLS

WLS: How Do We Choose the Weight? Now our only remaining job is to figure out what F should be Recall if there is a heteroskedasticity problem, then:

Determining F Thus:

Determining F And since F’F= Ω-1