Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE DI TRE PIANI Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1993/94 da Iezzi Iolanda della classe 3°B dell’Istituto statale d’arte «G.Mazara» di Sulmona per la materia :“Geometria descrittiva” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: introduzione e presentazione Definita l’operazione geometrica tra piani, sia nelle formalizzazioni che negli algoritmi descrittivi, si vuole, ora, affrontare il problema relativo all’intersezione fra tre piani. Immaginiamo, quindi, che sia da ricercare l’elemento geometrico risultante dalla seguente intersezione (a Ç b Ç g) ® ? Ricordiamo, anzitutto, che l’intersezione tra due piani determina una retta per cui sarà: (a Ç b ) ® r Î(a, b) Sulla base di questo concetto e relative operazioni si può immaginare una seconda operazione tra i piani b e g della terna di piani per cui avremo una seconda operazione come di seguito: (b Ç g ) ® s Î(b, g) A questo punto poiché le due operazioni danno, come risultato, due rette distinte r ed s, appartenenti al piano b, quindi complanari, si può procedere alla ricerca dell’intersezione tra queste due rette ottenendo, come risultato, un punto come sintetizzato di seguito: (r Ç s) ® PÎ(r, s) quindi anche ad (a, b, g) Si può concludere, quindi, che l’intersezione di tre piani genera un punto sintetizzando l’operazione come di seguito: (a Ç b Ç g) ® P Î (a, b, g)

Geometria descrittiva dinamica Definizione dell’algoritmo descrittivo (1) Stabilito quanto sopra cerchiamo di costruire, ora, l’algoritmo descrittivo relativo a questa operazione (a Ç b ) ® r ( a Ç b Ç g ) (r Ç s)®PÎ(a, b, g)   (b Ç g ) ® s Assegnati i tre piani distinti a, b, g, se sviluppiamo l’operazione sui primi due, a e b, si avrà quanto di seguito: (t1a Ç t1b) T1r r’ (a Ç b ) r Î(a, b) (t2a Ç t2b) T2r r” Le intersezioni tra le rispettive tracce dei due piani determinano le tracce T1r e T2r della retta risultante mediante le quali possiamo determinare le proiezioni r’ ed r” della retta, quale risultato dell’operazione d’intersezione tra i due piani a e b.

Geometria descrittiva dinamica Definizione dell’algoritmo descrittivo (2) Sviluppando l’operazione tra altri due piani b e g della terna assegnata si avrà: (t1b Ç t1g) T1s s’ ( b Ç g ) s Î(b, g) (t2b Ç t2g) T2s s” Anche in questo caso le intersezioni tra le rispettive tracce dei due piani determinano le tracce T1s e T2s della retta risultante mediante le quali possiamo determinare le proiezioni s’ ed s” della retta s quale risultato dell’operazione d’intersezione tra i due piani b e g. Le rette r ed s appartengono entrambe al piano b; quindi, essendo due rette complanari, ne possiamo determinare il punto d’intersezione che, appartenendo alle due rette, apparterrà anche ai tre piani.

Geometria descrittiva dinamica Definizione dell’algoritmo descrittivo (3) Definiti, quindi, gli elementi descrittivi delle due rette r ed s si può passare a determinare l’operazione di intersezione di queste che sarà la seguente: (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) PÎ [( r, s) Î(a, b, g)] (r” Ç s”) P” Poiché le rette r ed s appartengono ai piani che le generano e sono complanari al piano b, l’intersezione delle rispettive proiezioni determina il luogo della proiezione del punto P quale unico punto risultante delle intersezioni dei tre piani. In forma descrittiva possiamo esplicitare, come di seguito, i passaggi dell’algoritmo grafico-descrittivo.

Algoritmo descrittivo dell’intersezione di tre piani Geometria descrittiva dinamica Definizione dell’algoritmo descrittivo (4) Algoritmo descrittivo dell’intersezione di tre piani Dati Operazioni sui piani Operazioni con le rette Risultato (t1aÇt1b) T1r r’ (aÇb) (r’Çs’) P’ (t2aÇt2b) T2r r” (aÇbÇg) PÎ(a,b,g) (t1b Ç t1g) T1s s’ (r’’Çs’’) P” (bÇ g) (t2b Ç t2g) T2s s”

Geometria descrittiva dinamica Definizione dell’algoritmo descrittivo (5) E’ solo il caso di accennare che il risultato sarebbe stato lo stesso se il piano g veniva intersecato con il piano a invece che con il piano b. (a Ç g) ® r In questo caso le rette r ed s sarebbero state complanari al piano g. ( a Ç g Ç b ) (r Ç s) ® PÎ(a, b, g)   (g Ç b ) ® s Avremmo avuto lo stesso risultato intersecando i piani come di seguito con la differenza che le due rette r ed s sarebbero state complanari del piano a. (g Ç a ) ® r ( g Ç a Ç b ) (r Ç s) ® PÎ(a, b, g)   (a Ç b ) ® s Quanto sopra ci conduce alla seguente definizione verbale Assegnati tre piani distinti la loro intersezione genera uno ed un solo punto Poiché il punto può essere reale o improprio, si deduce che le due rette complanari risultanti dalle operazioni sui piani possono essere incidenti in un punto reale P oppure, se le due rette sono parallele, il punto d’intersezione diventa improprio P¥. In questo secondo caso accade che almeno due, dei tre piani, siano tra loro paralleli generando, mediante il terzo piano, due rette parallele che portano alla determinazione del punto improprio P¥. Nelle pagine successive saranno sviluppati alcuni esempi relativi sia alla ricerca del punto reale sia del punto improprio dell’intersezione di tre piani.

Geometria descrittiva dinamica Esempio 1: Determinazione del punto reale nell’intersezione di tre piani Assegnati i seguenti piani generici nel primo diedro ne ricerchiamo il punto d’intersezione P [(aÐp1+;Ðp2+) Ç (bÐp1+;Ð p2+) Ç (gÐp1+;Ðp2+)] ® P Con la fig. 01-a si dimostra che, variando la ricerca di intersezione di due piani (a Ç g), si ottiene una retta s diversa che, comunque, passa per il medesimo punto P(P’; P”) individuato nella fig. 01 La ricerca avviene sviluppando le seguenti operazioni grafiche come nella fig. 01 (aÇ b) r ( r’; r”) (bÇ g) s ( s’; s”) (aÇ b) r ( r’; r”) (rÇ s) P (P’; P”) (aÇ g) s ( s’; s”) Si dimostra in questo modo che variando le operazioni tra i differenti piani il risultato è sempre lo stesso (rÇ s) P (P’; P”)

Geometria descrittiva dinamica Esempio 2: Determinazione del punto improprio nell’intersezione di tre piani (1) Assegnati i seguenti tre piani generici nel primo diedro con a//b e g obliquo agli altri due ne ricerchiamo il punto d’intersezione P¥ improprio [(aÐp1+;Ðp2+) Ç (bÐp1+;Ð p2+) Ç (gÐp1+;Ðp2+)] ® P ¥ La ricerca avviene sviluppando le operazioni grafiche come nella fig. 02 (a Ç g) r ( r’; r”) (b Ç g) s ( s’; s”) Poiché r’//s’ ed r”//s” sarà, anche r//s. Essendo le due rette parallele la loro intersezione sarà un punto improprio. (r Ç s) P¥(P’¥; P”¥) Con la fig. 02-a si dimostra che, mantenendo la tipologia e la geometria dei piani a e b e variando la tipologia del piano g come di seguito, si ottengono due rette parallele che s’intersecano in P ¥ [(aÐp1+;Ðp2+) Ç (bÐp1+;Ð p2+) Ç (g^p1+;Ðp2+)] ® P ¥

Applicando l’algoritmo grafico si ha: Geometria descrittiva dinamica Esempio 2: Determinazione del punto improprio nell’intersezione di tre piani (2) Infatti sviluppando le operazioni d’intersezione come in fig. 02-a si ha: (a Ç g) r ( r’; r”) (b Ç g) s ( s’; s”) Poiché, anche in questo caso, r’//s’ ed r”//s” le due rette reali saranno parallele r//s determinando con la loro intersezione un punto improprio Applicando l’algoritmo grafico si ha: (r Ç s) P¥(P’¥; P”¥) (t1a Ç t1g) T1r r’ (aÇ g) (r’Çs’) P’¥ (t2a Ç t2g) T2r r” (aÇbÇg) P¥ (t1b Ç t1g) T1s s’ (r”Çs”) P”¥ (bÇ g) (t2b Ç t2g) T2s s”

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi