STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA’ Posizione del problema Il problema della stabilità dell’equilibrio aste perfette: Il carico critico euleriano influenza delle imperfezioni influenza dei vincoli Aste in c.a.: Il diagramma Momento-Curvatura (M-c) cenni alla sua determinazione numerica punti caratteristici del diagramma (M-c) Aste in c.a.: il metodo esatto Aste in c.a.: il metodo della colonna modello Esempio: calcolo sforzo normale ultimo di un pilastro in c.a. snello.

Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema) Il problema della valutazione della capacità portante di pilastri tozzi (pilastri con rapporto tra lunghezza e minima dimensione in sezione è sufficientemente piccola) si riduce al calcolo della capacità portante della sua generica sezione (se di sezione costante). In tal caso le sollecitazioni sono determinate con la teoria del primo ordine, in quanto si ritiene che le sollecitazioni non siano influenzate dalla configurazione deformata essendo gli spostamenti piccoli (teoria del I° ordine) Può però accadere che l’entità degli spostamenti non sia così piccola da poter trascurare le sollecitazioni aggiuntive che nascono imponendo l’equilibrio nella configurazione deformata. In tal caso si parla di teoria del II° ordine. Nel caso ad esempio di una mensola soggetta a compressione la possibilità che l’asta non sia inizialmente rettilinea potrebbe comportare effetti del II° ordine non trascurabili in presenza di snellezza elevata. P v I° ordine II° ordine

PuI PuII < PuI Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema) Ci si chiede allora quale sia l’influenza (in genere deleteria) degli effetti del II° ordine sulla capacità portante delle strutture. In particolare ci si chiede quale sia l’influenza degli effetti del secondo ordine sulla capacità portante di pilastri in cemento armato. PuI I° ordine PuII < PuI v II° ordine

Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.) ASTE PERFETTE (Asta di Eulero) L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero. In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale. E J v P Comportamento reale L Carico critico Euleriano Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea)

Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.) ASTE PERFETTE (Asta di Eulero) L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero. In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale. P v Biforcazione dell’Equilibrio P L E J v Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea) Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per il quale sussiste l’equilibrio nella configurazione deformata. In corrispondenza di esso sussiste quella che in gergo viene definita biforcazione dell’equilibrio.

Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.) INFLUENZA DELLE IMPERFEZIONI Dal momento che le condizioni di asta perfetta non sono in genere verificate occorre considerare anche l’influenza delle imperfezioni, in genere rappresentate da una eccentricità iniziale e. P L0 E J v e Le imperfezioni eliminano il fenomeno della biforcazione dell’equilibrio Lo sforzo Normale massimo è inferiore al carico critico di Eulero P Equazione di equilibrio (Eq. diff. non omogenea) Asta di Eulero con Imperfezioni Py Pu v Comportamento reale

L0=bL Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.) P INFLUENZA DEI VINCOLI La formulazione del problema di Eulero riguardava l’asta semplicemente appoggiata. In realtà le condizioni di vincolo che possono presentarsi sono in genere diverse e hanno notevole influenza sulla valutazione della stabilità dell’equilibrio di elementi strutturali compressi. Per tener conto di ciò l’idea è quella di ridursi attraverso condizioni di natura geometrica all’asta di Eulero modificando opportunamente la lunghezza della trave con un coefficiente b P Esempi P P L0=bL L L0=2L L L0=0.7 L L L0=0.5 L

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Si consideri ora un’asta in cemento armato. Poiché il materiale considerato è a comportamento non lineare la ricerca di posizioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale comporta, oltre a non linearità di natura geometrica, anche non linearità meccaniche. In particolare il momento dipende non linearmente dalla curvatura alla quale la sezione considerata è soggetta. f v(x) L P e Osservazione Occorre quindi valutare il massimo valore di P che soddisfi l’equazione di equilibrio nella sezione più sollecitata tenendo conto della non linearità della legge M() Nella generica sezione la riserva di resistenza flessionale (M-c) è in parte assorbita dal momento esterno del I° ordine MI=Pe e in parte dal momento del II° ordine MII=Pf.

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) VALUTAZIONE DELLA CURVATURA x v  y Modello Cinematico dx dx+edx c r Legame curvatura-deformazione Deformazione della fibra a livello y  y trascurabile u

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA Poiché siamo interessati alla valutazione della capacità ultima dell’elemento strutturale il diagramma M- può essere ragionevolmente approssimato con una trilatera i cui punti caratteristici sono rappresentati rispettivamente dal punto di prima fessurazione del CLS (I° Stadio), dal punto di primo snervamento dell’armatura (II° Stadio) e dal punto di rottura allo SLU della sezione (III° Stadio). N=cost M (cy , My) (cu , Mu) III° Stadio Diagramma Momento-Curvatura Semplificato II° Stadio (cf , Mf) I° Stadio c

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) PUNTI CARATTERISTCI DEL DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLS II° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione elastica ma parzializzata. III° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti si valutano considerando per la sezione le condizioni di stato limite ultimo.

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) ESEMPIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codice VCASLU) (cy , My) (cu , Mu) N=374 kN DATI SEZIONE: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 322 inferiore e superiore. (cf , Mf)

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO ALLE DIFFERENZE FINITE x P P xi e vi vi+1 L0 Sistema lineare con incognita vi Sviluppo in serie di Taylor della legge M() Metodo delle differenze finite

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (D.M. 9.1.96) La verifica del pilastro si esegue calcolando il massimo valore dello sforzo normale Pu per cui sia ancora possibile l’equilibrio nella sezione maggiormente sollecitata. Esso deve risultare minore dello sforzo normale applicato. f e P Soluzione approssimata v(x) L Curvatura Massima

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO Soluzione del sistema (y , My) MII PuL2/10 MI= Pue P=Pu  Soluzione Iterativa

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO SOLUZIONE ITERATIVA Lo sforzo normale ultimo Pu si valuta in 5 passi: 1) si sceglie un Pu di primo tentativo 1) si valuta il diagramma M-c 3) si valuta il momento del II° ordine MII 4) si valuta MI 5) se Pu x e =MI il procedimento iterativo termina, altrimenti si utilizza il valore Pu=MI/e come ulteriore Pu di tentativo e si ripetono i punti dal 1 al 5 fino a che la condizione non risulti verificata (cy , My) MI P=Pu 

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO) Materiali Cls Rck 30 Mpa Acciaio FeB44K Nel caso dell’esempio considerato sono state necessarie 6 iterazioni per raggiungere la convergenza, ottenendo per lo sforzo normale ultimo il valore Pu = 374.2 kN che corrisponde al momento MI=112.26 kNm DATI: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3f22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cm Altezza pilastro H=700 cm N.B. il valore di Pu in assenza di fenomeni del II° ordine vale 482 kN, valore maggiore del 22% rispetto al caso nel quale gli effetti del II° ordine siano messi in conto

Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO) Materiali Cls Rck 30 Mpa Acciaio FeB44K MI= 112.2 kNm (cy , My)  MII=261.8 kNm P=Pu= 374 kN DATI: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3f22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cm Altezza pilastro H=700 cm