Elementi di Calcolo Vettoriale Corso di Fisica per Studenti della Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Napoli FEDERICO II 3 Elementi di Calcolo Vettoriale

• altre grandezze, invece, …………… Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Grandezze Scalari • Molte grandezze, in fisica, sono completamente definite da un numero (la loro misura): Grandezze Scalari Esempi di grandezze scalari: Massa Temperatura Tempo ……… • altre grandezze, invece, …………… 3- Calcolo Vettoriale

• siamo a Napoli • ci spostiamo di 190 km • dove ci troviamo? Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Grandezze Vettoriali • siamo a Napoli • ci spostiamo di 190 km • dove ci troviamo? la nostra nuova posizione è indeterminata ! 3- Calcolo Vettoriale

• entità spostamento (modulo) Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Grandezze Vettoriali Occorre conoscere: • entità spostamento (modulo) • direzione spostamento X nuova posizione • verso spostamento 3- Calcolo Vettoriale

Versore di un vettore U: Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Vettori Notazione Vettori: V V AB (segmento orientato) A B Modulo di un vettore: | | V |V| |AB| V Versore di un vettore U: vettore û avente stessa direzione e verso di U ma modulo unitario 3- Calcolo Vettoriale

V=V1+V2 V V2 V1 V=V1+V2+V3+V4+…+Vn Somma di Vettori Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Somma di Vettori V=V1+V2 V V2 V1 V=V1+V2+V3+V4+…+Vn Proprietà commutativa ed associativa 3- Calcolo Vettoriale

il vettore V’ si dice opposto del vettore V se: Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Opposto di un Vettore il vettore V’ si dice opposto del vettore V se: ovvero V’=-V V+V’=0 V -V 3- Calcolo Vettoriale

o semplicemente V=V1+(-V2 ) V=V1-V2 V2 V1 V -V2 Differenza di Vettori Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Differenza di Vettori o semplicemente V=V1+(-V2 ) V=V1-V2 V2 V1 V -V2 3- Calcolo Vettoriale

Prodotto di un Vettore con uno Scalare Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto di un Vettore con uno Scalare vettore V e grandezza scalare g W=gV W=|g|V direzione di W = direzione di V verso di V se g>0 verso di W = -3V verso di -V se g<0 2V V 3- Calcolo Vettoriale

Decomposizione di un Vettore Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Decomposizione di un Vettore 3- Calcolo Vettoriale

Decomposizione di un Vettore Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Decomposizione di un Vettore determinare di quali vettori V è somma infinite possibili decomposizioni di V ! univocamente determinata se si fissa una base dello spazio a cui appartiene V 3- Calcolo Vettoriale

Basi Cartesiane Ortogonali Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Basi Cartesiane Ortogonali decomposizione di un vettore su di un piano V=vxx+vyy vy x , y versori assi V vx , vy componenti di V α y vx x O vx =Vcosα vy =Vsinα 3- Calcolo Vettoriale

Basi Cartesiane Ortogonali Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Basi Cartesiane Ortogonali decomposizione di un vettore nello spazio vz vz=Vcosθ vx=Vsinθcosφ V θ vy=Vsinθsinφ x y z vy O φ vx V=vxx+vyy+vzz 3- Calcolo Vettoriale

Somma tramite le Componenti Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Somma tramite le Componenti H=V+W V=vxx+vyy H W=wxx+wyy W V y x O H=(vx+wx)x+(vy+wy)y hx=(vx+wx) … e la differenza? hy=(vy+wy) 3- Calcolo Vettoriale

Prodotto con scalare tramite Componenti Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto con scalare tramite Componenti H=gW W=wxx+wyy W H=(gwx)x+(gwy)y y x O H hx=gwx hy=gwy 3- Calcolo Vettoriale

Prodotto Scalare tra Due Vettori Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto Scalare tra Due Vettori a=V•W a=VWcosα W α V O a=vxwx+vywy+vzwz a>0 se α<π/2 3- Calcolo Vettoriale

Prodotto Scalare tra Due Vettori Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto Scalare tra Due Vettori a=V•W a=VWcosα W W α α V V O O a=0 se α=π/2 a<0 se α>π/2 a=vx0+0wy a=vxwx+0wy 3- Calcolo Vettoriale

Prodotto Vettoriale tra Due Vettori Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto Vettoriale tra Due Vettori A=V×W A=VWsinα A W dir A ┴ pianoVW α V ver A : regola vite O ax=vywz-vzwy ay=vzwx-vxwz az=vxwy-vywx 3- Calcolo Vettoriale

A=V×W B=W×V A=VWsinα B=WVsinα dir A ┴ pianoVW dir B ┴ pianoWV W V α A Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto Vettoriale A=V×W B=W×V A=VWsinα B=WVsinα dir A ┴ pianoVW dir B ┴ pianoWV W V α A ver B : opposto ver A A=-B  V×W =-W×V B non COMMUTATIVO 3- Calcolo Vettoriale

A=V×W A=VWsinα α=0 oppure α=π  V×W=0 V W Prodotto Vettoriale Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Prodotto Vettoriale A=V×W A=VWsinα α=0 oppure α=π  V×W=0 V W 3- Calcolo Vettoriale

α=π/3 γ=π/6 α β A, ax=2 m ay=2√3 m B, bx=2√3 m by=2 m c=A•B Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esercizio N1 A, ax=2 m ay=2√3 m B, bx=2√3 m by=2 m α=π/3 c=A•B A=[(2)2+(2√3)2]½=4 B=[ (2√3)2+ (2)2]½=4 β=π/6 2√3 c=A B cosγ=4·4·√3/2=13.86 ?? A γ=π/6 m2 B 2 c=ax bx +ay by = 4·√3+4·√3 =13.86 m2 α β 2 2√3 3- Calcolo Vettoriale

γ=π/6 γ A, ax=2 m ay=2√3 m B, bx=2√3 m by=2 m A=4 B=4 Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esercizio N1 A, ax=2 m ay=2√3 m B, bx=2√3 m by=2 m A=4 B=4 D=A B sinγ=4·4·½=8 m2 D=A × B γ=π/6 dir D ┴ a A e ┴ a B z 2√3 A ver D  entra nello schermo γ B 2 dx=ay bz-az by =0 dy=az bx-ax bz =0 dz=ax by-ay bx = 4-4·3 =-8 2 2√3 3- Calcolo Vettoriale

 γ=77o=0.43 π A=(2 ,1 ,1 ) B=(-2 ,3 ,4 ) Angolo tra A e B ? Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esercizio N2 A=(2 ,1 ,1 ) B=(-2 ,3 ,4 ) Angolo tra A e B ? A•B=A B cosγ= ax bx +ay by +az bz  γ=77o=0.43 π 3- Calcolo Vettoriale

A, A=4.0 verso Nord B, B=6.5 verso Est D=A × C ? C=A × B ? D=104 C=26 Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esercizio N3 A, A=4.0 verso Nord B, B=6.5 verso Est D=A × C ? C=A × B ? D=104 C=26 A D B 3- Calcolo Vettoriale