Logica 17-18

Lezione 4 9/10/17

Livelli di analisi (b) Se tu hai superato l’esame e Gina l’ha superato, allora l’ha superato anche Piergiorgio. Piergiorgio non ha superato l’esame.  È falso che sia tu che Gina abbiate superato l’esame. Abbiamo assunto che P = tu hai superato l’esame e Gina l’ha superato

Più in profondità Se P e Q, allora R. Non si dà il caso che R.  Non si dà il caso che P e Q. P = tu hai superato l’esame Q = Gina ha superato l'esame R = Piergiorgio ha superato l’esame

Più superficiale P Q  R P = Se tu hai superato l’esame e Gina l’ha superato, allora l’ha superato anche Piergiorgio Q = Piergiorgio non ha superato l’esame R = È falso che sia tu che Gina abbiate superato l’esame

Qual è la forma argomentativa comune? Tutti i greci sono uomini Tutti gli uomini sono mortali  Tutti i greci sono mortali Tutti i mammiferi sono elefanti Tutti gli elefanti sono verdi  Tutti i mammiferi sono verdi

sillogismo tutti gli A sono B tutti i B sono C  tutti gli A sono C Ma siamo andati al di là della logica proposizionale, che ci consente solo questo: P Q  R

sillogismo tutti gli A sono B tutti i B sono C  tutti gli A sono C Ma siamo andati al di là della logica proposizionale, che ci consente solo questo: P Q  R

(1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle Mario ha macchie rosse sulla pelle  Mario ha la rosolia (2) se nevica, fa freddo fa freddo  nevica

affermazione del conseguente Se P, allora Q. Q.  P INVALIDO Ma questa potrebbe essere una discreta abduzione: (1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle Mario ha macchie rosse sulla pelle  Mario ha la rosolia

Varzi su affermazione del conseguente Malgrado alcuni esempi di questa forma siano argomentazioni valide, altri non lo sono. Ecco un esempio [?] che è valido (e anche fondato): (5) Se aprile precede maggio, allora aprile precede maggio e maggio segue aprile. Aprile precede maggio e maggio segue aprile.  Aprile precede maggio (Varzi, p. 50) Siete d'accordo?

(1) Se P allora P e Q (2) P e Q  (3) P Ma è la forma argomentativa (invalida) "affermazione del conseguente" che ci permette di arrivare a (3) da (1) e (2)?

NO! La forma argomentativa usata è l'eliminazione della congiunzione: P e Q  P (1) Se P allora P e Q (2) P e Q  (3) P

Forma logica comune a singoli enunciati (1) O piove o non piove (2) O è colpevole il maggiordomo o non lo è Qual è la forma comune?

la legge del terzo escluso P o non si dà il caso che P (1) P = piove (2) P = il maggiordomo è colpevole verità in ogni situazione concepibile (in ogni mondo possibile) (v. Varzi p. 71)

Qual è la forma comune? (1) Nevica e fa freddo (2) Mario è scaltro, ma onesto

contingente P e Q (1) P = piove, Q = fa freddo (2) P = Mario è scaltro, Q = Mario è onesto verità in alcune situazioni (mondi possibili)

Qual è la forma comune? (1) piove e non piove (2) Mario è onesto sebbene non lo sia

contraddizione P e non si dà il caso che P (1) P = piove (2) P = Mario è onesto verità in nessuna situazione (mondo)

Operatori logici (connettivi) Unario: Non si dà il caso che ~ Binari: E & O … o  Se … allora  Se e solo se 

Negazione Marcello è tra i vincitori (= P) Negazioni di P: Non si dà il caso che Marcello sia tra i vincitori Marcello non è tra i vincitori Non è vero che Marcello è tra i vincitori ~P

Congiunzione Franco è italiano e Sam è inglese. Alberto correva ma Anna era immobile. Sebbene piovesse, Tommaso non apriva l’ombrello Luisa è a casa mentre i suoi amici sono al cinema. P & Q

intermezzo sulla congiunzione (1) Sebbene fosse impacciato nell'esposizione, Mario ha risposto bene a tutte le domande Quindi, merita trenta e lode (2) Mario ha risposto bene a tutte le domande, ma è stato impacciato nell'esposizione,

Condizionale Se nevica allora fa freddo nevica solo se fa freddo se nevica fa freddo P  Q

Bicondizionale nevica se e solo se fa freddo P  Q

Condizioni sufficienti P è condizione sufficiente per Q Esprimere usando un singolo operatore logico

P è condizione sufficiente per Q P  Q se P allora Q Q, se P P solo se Q

Condizioni necessarie P è condizione necessaria di Q Esprimere usando un singolo operatore logico Q  P P, se Q Q solo se P

Condizioni necessarie e sufficienti P è condizione necessaria e sufficiente di Q Esprimere utilizzando un singolo operatore logico

P è condizione necessaria e sufficiente di Q P  Q P se e solo se Q P se Q (ossia, Q è sufficiente affinché si realizzi P) e solo se Q (ossia, Q è necessario affinché si realizzi P)

Forme enunciative e argomentative Possiamo riscrivere le forme enunciative (per es. "non si dà il caso che P", "P e Q") e le forme argomentative utilizzando i simboli logici. Per esempio: Legge del terzo escluso: P  P Modus ponens: P, P  Q |– Q NB: |– (segno d'asserzione) corrisponde a  A rigore si usano le parentesi: (P  Q)

Formalizzazione Il processo di formalizzazione ("simbolizzazione") trasforma ("traduce") un enunciato o un’argomentazione formulati in italiano in una forma enunciativa o una forma argomentativa, rispettivamente, ossia in una struttura composta di lettere enunciative e operatori logici. Le lettere enunciative non hanno significato di per sé, ma nel contesto di un particolare esercizio possono essere interpretate come espressioni per asserzioni o proposizioni (in questo senso sono "variabili") Gli operatori logici invece sono "costanti (logiche)", perché attribuiamo loro sempre lo stesso significato.

Ambiguità lessicale L'uso di simboli logici specifici ci permette di evitare l'ambiguità lessicale "leva" = 3a pers. sing. pres. ind. di "levare" un oggetto che serve a sollevare "o" = vel aut  = vel

intermezzo sulle forme argomentative (1) piove o nevica e fa freddo quindi, fa freddo (2) o viene Mario oppure viene Giorgio e faremo una bella festa quindi, faremo una bella festa Qual è la forma comune? E' una forma valida?

Ambiguità strutturale L'uso delle parentesi ci permette di evitare l'ambiguità strutturale Piove o nevica e fa freddo ((P  N) & F)) da cui si può correttamente inferire F (P  (N & F)) da cui NON si può correttamente inferire F Le parentesi esterne le possiamo togliere per semplicità, ma a rigore vanno messe per motivi che vedremo.

Lezione 6 11/10/17

Esempi Risolvere le ambiguità strutturali dando l'interpretazione più plausibile (1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F] (2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V, R] (3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure apre le finestre [usare B, R, A]

(1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F]

(2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V, R]

(3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure apre le finestre [usare B, R, A] (R  A)  B

Il linguaggio della logica proposizionale (i) Lettere enunciative: Qualunque lettera maiuscola può essere impiegata come lettera enunciativa. Inoltre, ‘P1’, ‘P2’, ‘P3’, ecc., sono tutte lettere enunciative distinte da ‘P’. Operatori logici: , &,  , , . Parentesi: (, )

Il linguaggio della logica proposizionale (ii) (1) Qualunque lettera enunciativa è una fbf. (2) Se  è una fbf, allora lo è anche  . (3) Se  e  sono fbf, allora lo sono anche ( &  ), (   ), (   ) e (   ). (4) Tutto ciò che non risulta classificabile come fbf in base a queste tre regole non è una fbf.

Metalinguaggio vs. linguaggio oggetto linguaggio oggetto: , &,  , , , P, Q, ecc. Metalinguaggio: |– , ,  , ecc.

Esempi Formule che sono fbf: (B  (V & R)) ((R  A)  B) (((P&Q) & R) & P1) Formule che NON sono fbf:  B))  (V & R  A (A RIGORE NON LO E')

Complessità di una fbf E' il numero di occorrenze di operatori nella fbf Esempi. Mettiamo queste fbf in ordine di crescente complessità: (P & Q) v (Q & P) ((R  A)  B) P  P

P  P ((R  A)  B) (P & Q) v (Q & P)

Sotto-fbf Le fbf possono contenere altre fbf al loro interno. Per es. ((R  A)  B) contiene A, B, R R (R  A) come caso limite diciamo che contiene anche se stessa: ((R  A)  B)

Impariamo a scrivere in ordine di complessità tutte le sotto-fbf di una certa fbf: (P & Q) v (Q & P)

P Q (P & Q) P (Q & P) (P & Q) v (Q & P) NB: a parità di complessità possiamo privilegiare l'ordine da sinistra a destra

Ambito Una particolare occorrenza di un operatore in una fbf, insieme a quella parte della fbf a cui l’occorrenza dell’operatore si applica, è chiamata ambito di quell’occorrenza dell’operatore. In altre parole, l’ambito di un’occorrenza di un operatore in una fbf è la più piccola sfbf che contiene quell’occorrenza.

Esempio Nella formula ‘(P & (Q   R))’ (1) l’ambito della prima occorrenza di ‘’ è ‘ P’, (2) l'ambito della seconda occorrenza di ‘’ è ‘ R’, (3) l’ambito di ‘’ è ‘(Q   R)’ (4) l’ambito di ‘&’ è l’intera formula.