Come si misurano gli angoli Angolo è la parte di piano delimitata da due semirette a e b aventi l’origine V in comune.

Come si misurano gli angoli Gli angoli si possono misurare in gradi oppure radianti. Misurare in gradi Il grado sessagesimale viene definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro: (1° = 1/360 di angolo giro) Il grado non ha multipli, ma ha sottomultipli: il primo, corrispondente a 1/60 di grado, che ha come simbolo un apice; il secondo, corrispondente a 1/60 di primo, cioè a 1/3600 di grado, che ha come simbolo un doppio apice. ESEMPI Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’angolo 32,48° 32,48° = 32° + 0,48° = 32° + 0,48°  60 = 32° 28,8’ = 32° + 28’ + 0,8 60 = 32°28’48” Esprimiamo in gradi, nella forma decimale, l’angolo 15°32’40” 15°32’40” = 15° + 32  (1/60)° + 40  (1/3600)° ≈ 15,544 (al millesimo di grado) La conversione dai gradi alla forma decimale e quella contraria possono essere svolte con la calcolatrice scientifica.

Come si misurano gli angoli Dato un angolo α di vertice C e la circonferenza avente centro nel vertice dell’angolo e raggio r, si assume come misura di α il rapporto tra la lunghezza l dell’arco AB sotteso da α e il raggio r : Tale ampiezza non dipende dal raggio della circonferenza scelta. L’unità di questo nuovo sistema di misurazione si chiama radiante. Un radiante è l'ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza l è uguale al raggio r. ESEMPIO Quindi un angolo piatto misura π e un angolo retto π/2

Come si misurano gli angoli In generale per passare da un sistema di misura ad un altro, si usa la proporzione Dove x : misura dell’angolo in radianti y : misura dell’angolo in gradi ESEMPI Troviamo la misura in radianti di un angolo di 32°15’ Troviamo la misura in gradi di un angolo di

Le funzioni goniometriche fondamentali Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario ed un angolo α avente vertice nell’origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, indicato con P il punto di intersezione con la circonferenza, chiamiamo: seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, la funzione che ad α associa l’ordinata del punto P: sin α = yp coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, la funzione che ad α associa l’ascissa del punto P: cos α = xp

Le funzioni goniometriche fondamentali Qualunque sia l’ampiezza dell’angolo α, sia sin α che cos α non possono assumere valori inferiori a -1 o valori superiori a 1; valgono quindi le limitazioni:

Le funzioni goniometriche fondamentali Riprendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta t ad essa tangente nel punto A(1,0); dato un angolo orientato α, sia Q il punto in cui il secondo lato di α interseca la retta t. Chiamiamo tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, la funzione che ad α associa l’ordinata del punto Q: tan α = yQ La tanα non esiste se

Le relazioni fondamentali Due relazioni fondamentali legano tra loro le funzioni goniometriche: 1^ relazione fondamentale della goniometria per qualunque angolo α 2^ relazione fondamentale della goniometria

I valori delle funzioni goniometriche fondamentali Dalle relazioni tra i lati dei triangoli rettangoli con gli angoli di 30° e 60° o di 45° si ottengono i valori delle funzioni goniometriche fondamentali per angoli particolari.

I triangoli rettangoli In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso. al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto stesso. al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto da determinare.

I triangoli rettangoli ESEMPIO Determiniamo la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che un cateto è lungo 3 cm e l’angolo ad esso opposto è ampio 55°. Utilizziamo la formula e determiniamo la formula inversa: Si ha quindi

Scalari e vettori Una grandezza scalare è individuata da un numero. Una grandezze vettoriale è definita da: Una direzione, che indica la retta lungo la quale agisce Un verso, che indica il senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione Un’intensità o modulo, che è il valore numerico che rappresenta la misura della grandezza

I vettori nel piano cartesiano Un vettore nel piano cartesiano può essere scomposto in due vettori lungo gli assi cartesiani la cui somma dà il vettore stesso. Noto l’angolo α che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse, i moduli delle due componenti si trovano con le seguenti formule: E per il teorema di Pitagora

vy 6 65° vx I vettori nel piano cartesiano Determiniamo le componenti del vettore di modulo 6 che forma un angolo di 65° rispetto alla direzione positiva dell’asse x. vy vx 6 65° Applicando le formule otteniamo:

Le operazioni con i vettori nel piano cartesiano Dati due vettori e uno scalare k, definiamo somma di due vettori il vettore differenza di due vettori il vettore prodotto del vettore per lo scalare k il vettore ESEMPI Dati i vettori , determina la somma e la differenza dei due vettori e il vettore Determiniamo la somma: Determiniamo la differenza: Infine il vettore vale