Lo studio completo di una funzione Punti da affrontare per studiare in modo completo una funzione e tracciarne il grafico: determinare il dominio individuare eventuali simmetrie o periodicità trovare, se esistono, le intersezioni con gli assi e studiare il segno della funzione studiare il comportamento agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti calcolare la derivata prima e trovare i punti estremanti (massimi o minimi) calcolare la derivata seconda e trovare gli eventuali punti di flesso

Lo studio completo di una funzione ESEMPIO Studiamo la funzione 1. Determiniamo il dominio 2. La funzione è simmetrica rispetto all’origine; è sufficiente studiarla per x > 0. 3. Poiché 0 non appartiene al dominio, la funzione non interseca l’asse y; la funzione interseca l’asse x in x = -1 e x = 1. -1 1 Segno della funzione -1 1 − +

Lo studio completo di una funzione 4. Comportamento agli estremi del dominio e individuazione asintoti la retta x = 0 è un asintoto verticale non esistono asintoti orizzontali -1 1 Ricerchiamo eventuali asintoti obliqui: Poiché possiamo affermare che esiste l’asintoto obliquo di equazione y = x.

Lo studio completo di una funzione 5. Calcolo della derivata prima Individuazione dei punti stazionari e studio del segno: y’ non si annulla ed è sempre positiva per x > 0, quindi la funzione non ha punti stazionari ed è sempre crescente in D. 6. Calcolo della derivata seconda La derivata seconda non si annulla ed è negativa per x > 0; la funzione ha concavità verso l’alto per x > 0 (verso il basso per x < 0). Il grafico della funzione è a lato.

I polinomi di Taylor I polinomi di Taylor Molto spesso non è possibile determinare il valore esatto di una funzione in un punto. Per ottenere una buona approssimazione che permetta una stima dell’errore che commettiamo possiamo usare il polinomio di Taylor. Data una funzione f(x), derivabile n volte nell’intorno di un punto x0, chiamiamo polinomio di Taylor di ordine n della funzione f(x) relativo al punto x0, il polinomio Pn(x) dato dalla seguente formula: In particolare, se x0 = 0, il polinomio Pn(x) diventa: E prende il nome di polinomio di Mc Laurin.

f’ = cos x f’’ = -sin x f’’’ = -cos x f(4) = sin x I polinomi di Taylor ESEMPIO Troviamo il polinomio di Mc Laurin di ordine 4 della funzione f(x) = sin x f’ = cos x f’’ = -sin x f’’’ = -cos x f(4) = sin x

La risoluzione approssimata delle equazioni Esistenza e unicità delle soluzioni in un intervallo Ogni equazione, dopo averne determinato il dominio e svolto opportunamente i calcoli, può essere scritta nella forma Le sue soluzioni possono essere determinate graficamente costruendo il diagramma di f (x) ed individuando le ascisse dei suoi punti di intersezione con l’asse x. dove è una funzione reale della variabile x.

La risoluzione approssimata delle equazioni Ricordiamo che una funzione continua ammette almeno uno zero nell’intervallo se Lo zero è unico se: non si annulla mai in , oppure è sempre positiva oppure sempre negativa in Quando si riesce ad individuare un intervallo che contiene una e una sola soluzione dell’equazione si dice che si sono separate le radici.

La risoluzione approssimata delle equazioni ESEMPIO Stabiliamo se la funzione ammette una soluzione dell’intervallo Applichiamo il teorema degli zeri Avendo trovato valori di segno opposto, possiamo affermare che esiste almeno una soluzione in questo intervallo. Stabiliamo se la soluzione è unica applicando il primo teorema di unicità: Nessuno di questi valori appartiene all’intervallo considerato, quindi non si annulla in In tale intervallo esiste quindi una e una sola soluzione.

I metodi di individuazione delle soluzioni Il metodo di bisezione Il metodo più semplice di individuazione delle radici è quello di bisezione; esso consiste nel dimezzare ad ogni passaggio l’intervallo che contiene la radice, fino a trovarne uno di ampiezza molto piccola.

I metodi di individuazione delle soluzioni ESEMPIO Riprendiamo l’equazione della quale sappiamo che ammette una soluzione nell’intervallo Dimezziamo l’intervallo, e per fare ciò calcoliamo il suo punto medio: Applichiamo il teorema degli zeri: La radice appartiene all’intervallo Dimezziamo di nuovo l’intervallo valutando il punto medio: Applichiamo il teorema degli zeri: La radice appartiene all’intervallo Proseguendo in questo modo si può ridurre l’intervallo alla precisione desiderata. Nel nostro caso, dopo qualche passaggio troviamo che un valore approssimato della soluzione è 3,70.

I metodi di individuazione delle soluzioni Il metodo delle corde Il metodo si basa sulla riduzione dell’intervallo mediante l’individuazione di corde le cui intersezioni con l’asse x si avvicinano alla soluzione s.

I metodi di individuazione delle soluzioni Le ascisse dei punti ci si trovano mediante una formula ricorsiva: Il punto di partenza c0 è: l’estremo a se la funzione ha la forma l’estremo b se la funzione ha la forma

I metodi di individuazione delle soluzioni ESEMPIO L’equazione ha una soluzione dell’intervallo Posto si ha: Per trovare un valore approssimato della soluzione dobbiamo usare la formula I Ci rappresentano valori approssimati per eccesso della soluzione s; continuando con lo stesso procedimento si otterrà s = -1,769…

I metodi di individuazione delle soluzioni Il metodo delle tangenti (metodo di Newton) Il metodo di Newton è analogo a quello precedente, ma le corde vengono sostituite dalle rette tangenti in A oppure in B. La formula ricorsiva che genera i valori approssimati è: Il punto di partenza d0 è: l’estremo a se hanno lo stesso segno l’estremo b se hanno segni opposti

I metodi di individuazione delle soluzioni ESEMPIO Riprendendo l’esempio precedente e applichiamo il metodo delle tangenti. Calcoliamo la derivata prima della funzione: I valori d1, d2,… dn rappresentano valori approssimati per difetto della soluzione s.