Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica Esempio: j = 25°N Z j Costruiamo la sfera celeste… Ricordiamo che il meridiano superiore dell’osservatore è quello che parte dal Pn celeste, passa per lo zenith ed arriva al Ps celeste (in pratica è la proiezione del meridiano dell’osservatore sulla sfera celeste) Ovviamente l’opposto (che unisce i poli passando per il nadir) è il meridiano inferiore dell’osservatore (proiezione del suo antimeridiano) Posizioniamo un astro e calcoliamo “ad occhio” le otto cordinate (4 altazimutali e 4 locali orarie) h = 47° z = 43° Az = 40° Z = N40E d = 55°N p = 35° t = 315° P = 45°E Identifichiamo il triangolo sferico Adesso con le formule di trigonometria sferica verifichiamo se, partendo dalle coordinate locali orarie e dalla latitudine, si ottengono le coordinate altazimutali 90 - j Ms z p d Pn P h W S N Orizz. Az E Z t Z Ps P Equat. Mi Z’

Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica d = 55°N p = 35° t = 315° P = 45°E j = 25°N Formula 1: Calcolo dell’altezza stimata sen hs = senj *send + cosj * cosd * cosP sen hs = sen25*sen55 + cos25*cos55*cos45 sen hs = 0,713768 hs = 45,54 Formula 2: Calcolo dell’angolo azimutale cos Z = (send – senj * senh)/(cosj * cosh) cos Z = (sen55–sen25*sen45,54)/(cos25*cos45,54) cos Z = 0,8152526 Z = 35,38° = N 35,38 E (prefisso della latitudine e suffisso dell’angolo al polo) Az = 35,38° Le nostre “previsioni ad occhio” sono state abbastanza precise! h = 47° z = 43° Az = 40° Z = N40E Coordinate locali orarie Latitudine Formule di trigonometria sferica per il calcolo dell’altezza stimata e dell’azimuth stimato

( ) Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica Esempio: j = 25°N Z j Costruiamo la sfera celeste… Ricordiamo che il meridiano superiore dell’osservatore è quello che parte dal Pn celeste, passa per lo zenith ed arriva al Ps celeste (in pratica è la proiezione del meridiano dell’osservatore sulla sfera celeste) Ovviamente l’opposto (che unisce i poli passando per il nadir) è il meridiano inferiore dell’osservatore (proiezione del suo antimeridiano) Posizioniamo un astro e calcoliamo “ad occhio” le otto cordinate (4 altazimutali e 4 locali orarie) h = 55° z = 35° Az = 250° Z = N110W d = 15°N p = 75° t = 30° P = 30°W Identifichiamo il triangolo sferico Adesso con le formule di trigonometria sferica verifichiamo se, partendo dalle coordinate locali orarie e dalla latitudine, si ottengono le coordinate altazimutali 90 - j Ms z ( ) P d p t Pn h W Z Az S N Orizz. E Z P Ps Equat. Mi Z’

Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica d = 15°N p = 75° t = 030° P = 30°W j = 25°N Formula 1: Calcolo dell’altezza stimata sen hs = senj *send + cosj * cosd * cosP sen hs = sen25*sen15 + cos25*cos15*cos-30 sen hs = 0,86752 hs = 60,17 Formula 2: Calcolo dell’angolo azimutale cos Z = (send – senj * senh)/(cosj * cosh) cos Z = (sen15–sen25*sen60,17)/(cos25*cos60,17) cos Z = -0,239128 Z = 103,83° = N 103,83 W (prefisso della latitudine e suffisso dell’angolo al polo) Az = 256,17 Le nostre “previsioni ad occhio” sono state abbastanza precise! h = 55° z = 35° Az = 250° Z = N110W Coordinate locali orarie Latitudine Formule di trigonometria sferica per il calcolo dell’altezza stimata e dell’azimuth stimato

Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica Esempio: j = 25°S Z j Costruiamo la sfera celeste… Ricordiamo che il meridiano superiore dell’osservatore è quello che parte dal Pn celeste, passa per lo zenith ed arriva al Ps celeste (in pratica è la proiezione del meridiano dell’osservatore sulla sfera celeste) Ovviamente l’opposto (che unisce i poli passando per il nadir) è il meridiano inferiore dell’osservatore (proiezione del suo antimeridiano) Posizioniamo un astro e calcoliamo “ad occhio” le otto cordinate (4 altazimutali e 4 locali orarie) h = 15° z = 75° Az = 210° Z = S030W d = 60°S p = 30° t = 110° P = 110°W Identifichiamo il triangolo sferico Adesso con le formule di trigonometria sferica verifichiamo se, partendo dalle coordinate locali orarie e dalla latitudine, si ottengono le coordinate altazimutali 90 - j Ms z Ps P t E p Az N S h Orizz. Z W d Z P Pn Equat. Mi Z’

Il triangolo di posizione e le formule di trigonometria sferica d = 60°S p = 30° t = 110° P = 110°W j = 25°S Formula 1: Calcolo dell’altezza stimata sen hs = senj *send + cosj * cosd * cosP sen hs = sen-25*sen-60 + cos-25*cos-60*cos-110 sen hs = 0,211013 hs = 12,18 Formula 2: Calcolo dell’angolo azimutale cos Z = (send – senj * senh)/(cosj * cosh) PRIMO METODO (RISPETTO DEI SEGNI E+ W- N+ S-) cos Z = (sen-60–sen-25*sen12,18)/(cos-25*cos12,18) cos Z = -0,876909 Z = 151,27° = N 151,27 W = S28,73W Quando si rispettano i segni l’angolo azimutale parte SEMPRE da NORD Az = 208,73 SECONDO METODO (j e d OMONIME nella formula ENTRAMBE POSITIVE) (j e d ETERONIME nella formula j POSITIVA e d NEGATIVA) cos Z = (sen60–sen25*sen12,18)/(cos25*cos12,18) cos Z = +0,876909 Z = 28,73° = S28,73W Quando si usa il metodo OMONIME/ETERONIME, l’angolo azimutale viene corretto (cioè è quello rappresentato nel triangolo di posizione). Nell’emisfero SUD parte dal punto cardinale SUD Coordinate locali orarie Latitudine Formule di trigonometria sferica per il calcolo dell’altezza stimata e dell’azimuth stimato Le nostre “previsioni ad occhio” sono state abbastanza precise! h = 15° z = 75° Az = 210° Z = S030W

Possibile COMPITO IN CLASSE Date due coordinate locali orarie e la latitudine dell’osservatore, lo studente deve: Disegnare la sfera celeste Trovare le altre due coordinate locali orarie Trovare “ad occhio” le coordinate altazimutali Evidenziare il triangolo di posizione, disegnandolo a parte ingrandito Con l’utilizzo delle formule di trigonometria sferica, trovare le coordinate altazimutali ESATTE Fare il confronto per verificare le proprie capacità di disegno….. Esempio: j = 20°S t = 330° = 40°N Iniziamo….. Svolgimento 1) Posizioniamo l’astro 2) Determiniamo le altre DUE coordinate locali orarie (distanza polare “p” ed angolo al polo “P”) p = 130° P = 030°E 3) Determiniamo “AD OCCHIO” le coordinate locali orarie (dato che siamo all’emisfero SUD, mettiamo l’angolo azimutale anche con cardine NORD, ci servirà alla fine) Z j h = 24° z = 66° Az = 020° Z = S160°E (Z = N020°E) Ms P p z 4) Evidenziamo e “riproduciamo” il triangolo di posizione d ( ) Ps h Z E t N Az S Orizz. W Pn Equat. Mi Z’

Possibile COMPITO IN CLASSE Date due coordinate locali orarie e la latitudine dell’osservatore, lo studente deve: Disegnare la sfera celeste Trovare le altre due coordinate locali orarie Trovare “ad occhio” le coordinate altazimutali Evidenziare il triangolo di posizione, disegnandolo a parte ingrandito Con l’utilizzo delle formule di trigonometria sferica, trovare le coordinate altazimutali ESATTE Fare il confronto per verificare le proprie capacità di disegno….. Esempio: j = 20°S t = 330° = 40°N Iniziamo….. Svolgimento 1) Posizioniamo l’astro 2) Determiniamo le altre DUE coordinate locali orarie (distanza polare “p” ed angolo al polo “P”) p = 130° P = 030°E 3) Determiniamo “AD OCCHIO” le coordinate locali orarie (dato che siamo all’emisfero SUD, mettiamo l’angolo azimutale anche con cardine NORD, ci servirà alla fine) Z j h = 25° z = 65° Az = 020° Z = S160°E (Z = N020°E) Ms P p z 4) Evidenziamo e “riproduciamo” il triangolo di posizione d ( ) Ps h Z E t N Az S Orizz. Z W Pn P A Equat. Mi “Angolo all’astro” A Z’

Possibile COMPITO IN CLASSE Date due coordinate locali orarie e la latitudine dell’osservatore, lo studente deve: Disegnare la sfera celeste Trovare le altre due coordinate locali orarie Trovare “ad occhio” le coordinate altazimutali Evidenziare il triangolo di posizione, disegnandolo a parte ingrandito Con l’utilizzo delle formule di trigonometria sferica, trovare le coordinate altazimutali ESATTE Fare il confronto per verificare le proprie capacità di disegno….. Esempio: j = 20°S t = 330° = 40°N Iniziamo….. Svolgimento Passiamo alle formule senhs = (senj * send) + (cosj * cosd * cosP) senhs = sen (-20) * sen 40 + cos (-20) * cos 40 * cos 30 sen hs = 0,403545 hs = 23,8 PRIMO METODO (rispetto dei segni) cosZ = (send – (senj * senh)) / (cosj * cosh) cosZ = (sen 40 – (sen(-20) * sen 23,8))/(cos (-20) * cos 23,8) cosZ = 0,908147 Z = 24,7 = N24,7°E SECONDO METODO (Eteronime / Omonime) cosZ = (sen (-40) – (sen 20 * sen 23,8))/(cos 20 * cos 23,8) cosZ = -0,908147 Z = 155,3 = S155,3°E L’azimut viene SEMPRE 024,7 Z j Ms P p z d ( ) Ps h Z E t N Az S Orizz. W Pn Equat. Confronto…. Ad occhio h = 24° Az = 020° Disegno fatto bene! Mi Z’