PARTE TERZA OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI INSIEMI E LOGICA PARTE TERZA OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI

IMPLICAZIONE MATERIALE O CONDIZIONALE Si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p e q e si indica con (si legge «se p allora q» o «p implica q») la proposizione che è falsa nel caso p sia vera e q sia falsa ed è vera negli altri casi. p q V F

OSSERVAZIONE Il calcolo degli enunciati prescinde dal significato delle singole proposizioni e perciò dobbiamo considerare vera l'implicazione tutte le volte che così afferma la sua tavola di verità, anche se gli enunciati p e q non sono legati da un rapporto di causa-effetto o addirittura sono disomogenei. E questo il motivo degli apparenti «paradossi dell'implicazione materiale», di cui diamo un eloquente esempio. Si considerino, per esempio, le proposizioni p: Caserta è la capitale della Francia q: 12 è un numero primo. La proposizione condizionale è : se Caserta fosse la capitale della Francia, allora 12 sarebbe un numero primo ed è vera in quanto p e q sono entrambe false.

Implicazione contraria inversa o contronominale Data un'implicazione l'implicazione si dice contraria di si dice inversa si dice contronominale In questo contesto, è anche detta implicazione diretta. Come vedremo dalla verità dell'implicazione diretta discende la verità della contronominale e viceversa, ma non si può affermare la verità delle implicazioni contraria e inversa. Consideriamo l'implicazione se Tom è un gatto, allora Tom è un felino. La sua contraria è se Tom non è un gatto, allora Tom non è un felino. La sua inversa è se Tom è un felino, allora Tom è un gatto. La sua contronominale è se Tom non è un felino, allora Tom non è un gatto. Come si può notare, l'implicazione diretta è vera e così pure la sua contronominale; nulla si può invece dire della sua contraria e della sua inversa.

Copimplicazione materiale o bicondizionale Si definisce coimplicazione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si indica con (si legge «p se e solo se q» o «p coimplica q») la proposizione che è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità e falsa in caso contrario. p q V F ESEMPIO Consideriamo le proposizioni p: 7 è un numero primo (vera) q: il quadrato è un poligono (vera) r: il Po è una montagna (falsa) s: 8 è multiplo di 5 (falsa).

Formule proposizionali Gli enunciati semplici, privi di connettivi logici, si chiamano anche enunciati atomici. Per indicarli, useremo lettere corsive minuscole (a, b, e, ..., p, q, r, ...) che chiameremo lettere enunciative. Abbiamo visto come si possono combinare uno o due enunciati atomici, mediante l'operatore negazione e i connettivi logici, per ottenere altri enunciati Possiamo nuovamente combinare gli enunciati così ottenuti per ricavare degli enunciati ancora più complessi; chiameremo formule enunciative o formule proposizionali gli enunciati così ottenuti. Possiamo calcolare il valore di verità di una formula enunciativa una volta che siano noti i valori di verità delle lettere enunciative che la compongono. Calcolare il valore di verità della formula proposizionale in corrispondenza dei valori a = F e b = V. a ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che compongono una formula, corrisponde un valore di verità per la formula enunciativa stessa. Perciò diciamo che ogni formula enunciativa determina una funzione di verità. Nell'esempio precedente, le lettere enunciative a e b sono le variabili di tale funzione di verità. Essa, come si è visto, associa alla coppia di valori di verità (F ; V) di a e b, il valore V; Osservazione: si noti che se la formula enunciativa contiene n lettere la relativa tabella avrà 2n righe

Formule equiveridiche Diciamo che due formule enunciative A e B sono equiveridiche o uguali logicamente o, ancora, logicamente equivalenti se esse determinano la stessa funzione di verità, ossia se assumono entrambe lo stesso valore di verità quali che siano i valori di verità attribuiti alle lettere enunciative che le compongono. Esempio: verificare che La verifica si fa con un’unica tabella di verità p q V F

Osservazione La contronominale è logicamente eguale all'implicazione diretta, cioè Per esempio, dire Se Tom è un gatto, allora Tom è un felino equivale a dire Se Tom non è un felino, allora Tom non è un gatto Sempre utilizzando le tavole di verità si può verificare che una implicazione non equivale logicamente alla sua inversa né alla sua contraria. a b V F

Proprietà delle operazioni logiche 4) Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzione: Le due uguaglianze logiche precedenti consentono poi di scrivere direttamente senza parentesi 1) Proprietà di idempotenza della congiunzione e della disgiunzione: 2) Proprietà commutativa della congiunzione e della disgiunzione: 3) Proprietà della complementarietà (legge della doppia negazione}: cioè, la negazione della negazione di una proposizione è la proposizione stessa

Proprietà delle operazioni logiche 5) Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione: 6) Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione: 7) Leggi di De Morgan: 8) Leggi di assorbimento: