FORMULE TRIGONOMETRICHE

FORMULE TRIGONOMETRICHE Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30° altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45° . . . La tangente di 45° è 1 mentre quella di 90° è !!!!!

FORMULE TRIGONOMETRICHE E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a a – b cos(a – b) se si conoscono cosa e cosb?

FORMULE TRIGONOMETRICHE cos(a – b) = sena senb + cosa cosb La risposta è cos(a – b) = sena senb + cosa cosb Come si ottiene questa relazione?

FORMULE TRIGONOMETRICHE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Coseno della differenza tra due angoli cos(a – b) y P’ a A x

P’ (cosa; sena) y P’ a A x

P’ (cosa; sena) y P P’ a b A x

P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a b A x

Quest’angolo in verde è P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b a b A x Quest’angolo in verde è a - b

P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x

a - b A P’ (cosa; sena) P P (cosb; senb) P’ P y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x Scriviamo l’espressione della distanza P’P

A (xa; ya) B(xb; yb) y B A A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2 x RIPASSO DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI A (xa; ya) B(xb; yb) y B A A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2 x

a - b A P’ (cosa; sena) P P (cosb; senb) P’ P y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x Scriviamo l’espressione della distanza P’P  

Costruiamo lo stesso angolo (a – b) partendo dal punto A P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x   Costruiamo lo stesso angolo (a – b) partendo dal punto A

Costruiamo lo stesso angolo a – b partendo dal punto A P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x x Costruiamo lo stesso angolo a – b partendo dal punto A

y K P P’ P a - b A x x

A (1; 0) K [cos(a – b); sen(a – b)] y K P P’ P a - b A x A (1; 0) K [cos(a – b); sen(a – b)] La distanza AK è data da  

y K P P’ P a - b A x PP’ = AK  

Coseno della somma tra due angoli cos(a + b)

cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x

cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x

sena[- senb] + cosacosb = - senasenb + cosacosb cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x cos(a + b) = sena[- senb] + cosacosb = - senasenb + cosacosb quindi

Seno della somma tra due angoli sen(a + b)

Seno della differenza tra due angoli sen(a - b)

FORMULE DI DUPLICAZIONE sen2a = ? cos2a = ? tg2a = ? cotg2a = ?

FORMULE DI DUPLICAZIONE sen2a = sen(a + a) = cosa sena + sena cosa

FORMULE DI DUPLICAZIONE cos2a = cos(a + a) = cosa cosa - sena sena

FORMULE DI DUPLICAZIONE Esercizio Utilizzando sen2a = 2sena cosa cos2a = cos2a - sen2a Ricavare le formule di duplicazione per: tg2a e cotg2a

sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE   sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa  

sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa  

sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = senasenb - cosbcosa FORMULE DI ADDIZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE   sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = senasenb - cosbcosa  

sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = cosbcosa - senasenb FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = cosbcosa - senasenb