Logica 16-17 Lezioni 26-…

Lezione 26 5 Dicembre 2016

Variabili libere e vincolate Riguardiamo la regola di formazione (4) (p. 163). La variabile introdotta mediante questa regola si dice "vincolata" ("bound") dall'occorrenza del quantificatore introdotto insieme alla variabile. Per es. in "∃x∃y(Fx & Gay)" la "x" è vincolata dalla prima occorrenza di "∃" e la "y" dalla seconda occorrenza di "∃". Una variabile non vincolata da alcun quantificatore si dice "libera" ("free") Nel nostro libro di testo non ci sono fbf con variabili libere, ma in molti altri testi sono permesse.

Raccomandazione Guardare attentamente le restrizioni nella regola I e la spiegazione degli errori logici nei quali si incorrerebbe se non venissero osservate (pp. 196-197) Guardare attentamente le restrizioni nella regola E e la spiegazione degli errori logici nei quali si incorrerebbe se son venissero osservate (pp. 202-204)

Strategie dimostrative v. pp. 206-207 per dimostrare una conclusione quantificata esistenzialmente o universalmente, la strategia tipica consiste nel dimostrare una fbf dalla quale la conclusione possa ottenersi per ∀I o per ∃I Quindi, per dimostrare per es. ∀xFx, provare a dimostrare Fa (laddove "a" è "arbitraria") e poi usare ∀I Per dimostrare per es. ∃xFx, provare a dimostrare Fa (per un qualche a) e poi usare ∃I

strategie (cont.) Se abbiamo per es. ∃xFx tra le premesse, provare a sfruttarlo ipotizzando Fa (laddove "a" è "arbitraria") per derivare da Fa la conclusione desiderata (usando poi ∃E) Tipicamente, se abbiamo a disposizione una formula quantificata universalmente, dobbiamo sfruttarla istanziando a costanti già introdotte (per es. in un'ipotesi fatta per sfruttare ∃E)

Esempio Consideriamo es. 7.16 p. 205, ossia Dimostrare: ∃x∀yRxy |– ∀y∃xRxy Strategia: dal momento che abbiamo a disposizione come premessa ∃xyRxy proviamo a sfruttarla ipotizzando per un a arbitrario: yRay. Siccome da tale ipotesi vogliamo ∀y∃xRxy, cerchiamo di dimostrare, per un b arbitrario, ∃xRxb Per ottenere ∃xRxb, ci basta mostrare, per es.,Rab, che possiamo ottenere da yRay. Guardiamo insieme la dimostrazione nel libro

Guardiamo un semplice esempio che richiede E

Esercizio risolto 7.13 Soluzione

Guardiamo un altro esempio con E

Esercizio risolto 7.11 Soluzione

Torniamo a I. Guardiamo un esempio che la richiede

Esercizio risolto 7.7 Soluzione

Lezione 27 6/12/16

Compito 5 ed esame finale Lunedì 12 Dicembre, lezione 29, distribuirò il compito 5, da consegnare Lunedì 19 dicembre, ore 9-11, al dott. Vettore che sarà disponibile per chiarimenti (sala dottorandi, quarto piano, via Garibaldi 20) Metterò le soluzioni in rete, dopo la scadenza per la consegna Lunedì 13 dicembre, lezione 30, darò qualche indicazione sull’esame finale Faremo l’esame finale scritto alla prima sessione di Gennaio (9 Gennaio) ?? Comunicherò i voti (con numero di matricola) nel sito del corso Chi lo accetta potrà registrare il voto a partire dalla 2a sessione di Gennaio (24 Gennaio) Sarò disponibile per chiarimenti durante l’orario di ricevimento (Martedì 9- 10)

Confronto con la logica aristotelica Per Aristotele ‘Ogni F è G’ implica ‘qualche F è G’ Nella logica del 1o ordine ‘∀x(Fx  Gx)’ NON implica ‘∃x(Fx & Gx)’ ‘Ogni F è G’ inteso alla maniera di Aristotele si può rendere così: ∀x(Fx  Gx) & ∃xFx

Regole di equivalenza SQ Guardare tabella 7.2, p. 215 Daremo per scontate queste equivalenze (a meno che non sia richiesto esplicitamente di usare solo regole di base) Ci permettono di utilizzare le strategie già discusse. Per es., se abbiamo ∃xFx tra le premesse, grazie a SQ abbiamo ∀xFx , cioè una fbf universale da sfruttare Oppure, se abbiamo tra le premesse ∀xFx , grazie a SQ abbiamo ∃xFx da sfruttare Memorizzarle! E' complicato dimostrarle. Una è dimostrata a p. 210 Se c'è tempo, ci proveremo

Predicato di identità Utilizziamo la "infix notation" Nuove fbf atomiche: a = b, c = d, ecc. Nuove fbf: x x = s, x(x = a v x = b) etc.

Regole per l'identità Regola di introduzione =I Regola di eliminazione IE, v. pp. 213-214 e tabella riassuntiva 7.1 p. 215 (oppure p. 222)

Esercizio risolto 7.29 Soluzione

Esercizio risolto 7.31 Soluzione

Lezione 28 7/12/16

DECIDERE DATA ESAME SCRITTO FINALE Si raccomanda di venire con il libretto e di riportare il proprio numero di matricola nel compito. Il n. di matricola servirà a comunicare i voti nel sito senza compromettere la privacy

Simbolo Interpretazione Formalizzare i seguenti enunciati italiani nella notazione della logica dei predicati con identità, usando l’interpretazione indicata. Simbolo Interpretazione c Samuel Clemens h Huckleberry Finn (il libro) t Mark Twain A è un autore americano M è migliore (come autore) di S ha scritto (a) Mark Twain non è Samuel Clemens. (b) Mark Twain esiste. (c) Se Mark Twain è Samuel Clemens, Samuel Clemens ha scritto Huckleberry Finn. (d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. (e) Nessun autore americano è migliore di Mark Twain.

(a) Mark Twain non è Samuel Clemens. (b) Mark Twain esiste.

(c) Se Mark Twain è Samuel Clemens, Samuel Clemens ha scritto Huckleberry Finn. (d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. (v. alternativa next slide) (e) Nessun autore americano è migliore di Mark Twain.

(d ) Solo Mark Twain ha scritto Huckleberry Finn. traduzione alternativa: Sth & x(Sxh  x = t) NB: il secondo congiunto da solo è compatibile con il fatto che nessuno ha scritto Huckleberry Finn (ci dice: SE qualcuno ha scritto Huckleberry Finn allora è MT (si potrebbe considerare u'interpretazione "debole" di (d) (v. Montague et al. p. 268)) Invece x(Sxh ↔ x = t) richiede che qualcuno, MT, ha scritto Huckleberry Finn Infatti implica Sth↔ t = t, che a sua volta implica Sth

Esiste almeno un cavallo Esistono almeno due cavalli Esistono almeno tre cavalli ecc.

Esiste almeno un cavallo xCx Esistono almeno due cavalli x y((Cx & Cy) & x  y) Esistono almeno tre cavalli x y z(((Cx & Cy) & Cz & x  y)) & (y  z) & (x  z) ) Possiamo INFORMALMENTE togliere qualche parentesi: x y z(Cx & Cy & Cz & x  y & y  z & x  z)

Non-transitività della non identità (slide aggiunta dopo la lezione) Esistono almeno tre cavalli x y z(Cx & Cy & Cz & x  y & y  z & x  z) Non basta dire "x  y & y  z" perché la non identità non è transitiva. Quindi bisogna aggiungere "x  z" Contro-esempi alla transitività: Superman  Batman, Batman  Clark Kent Eppure Superman = Clark Kent (2+2)  3, 3  (2x2), eppure (2+2) = (2x2)

C'è al massimo un cavallo Ci sono al massimo due cavalli Ci sono al massimo tre cavalli

C'è al massimo un cavallo (ma non è detto che ci sia!) x y((Cx & Cy) -> x = y) Ci sono al massimo due cavalli x y z((Cx & Cy & Cz) -> (x = y v z = x v z =y)) Ci sono al massimo tre cavalli traduzione analoga al caso precedente NB: correggere il libro a p. 187, togliendo la negazione interna nelle due formule (h) e (i) in fondo alla pagina

Simmetria dell'identità Guardare es. 7.32, p. 214

Esercizio risolto 7.33 (transitività) Soluzione (errore alla riga 6: sostituire x con z)