1. (Griffiths, Esempio 3.8) Un sistema fisico è descritto dall’hamiltoniano a g g a ) Ĥ= con g,a∈R ( 1 ) Al tempo t=0 il sistema si trova nello stato ￨1＞= In che stato si trova al tempo t?

( ) a g Ĥ= g a con g,a∈R Spazio di Hilbert in 2 dimensioni Notare che la matrice coincide con la tua trasposta (coniugata): l’operatore è effettivamente autoaggiunto. Mi aspetto autovalori reali + autovettori corrispondenti ad autovalori distinti dovranno essere ortogonali. Trovo autovalori e autovettori.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a-λ g g a-λ H-λI= det(H-λI)=(a-λ)2-g2 (a-λ)2-g2=0⇒ (a-λ)=±g⇒ λ≡λ+=a+g; λ≡λ-=a-g (sistema a 2 livelli) Autovettore corrispondente a λ+ ( -g +g +g -g ) ( a b ) -ga=-gb ga=gb ( +1 ) =0⇒ ⇒ Autovettore corrispondente a λ- ( +g +g ) ( a b ) ga=-gb ( ) +1 -1 =0⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Autovettore corrispondente a λ+ -g +g +g -g ) ( a b ) -ga=-gb ga=gb ( +1 ) =0⇒ ⇒ Autovettore corrispondente a λ- ( +g +g ) ( a b ) ga=-gb ( ) +1 -1 =0⇒ ⇒ Autovettori normalizzati (ortonormali!): 1 ( +1 ) 1 ( +1 -1 ) ￨+＞= ￨-＞= √2 √2 ( a g g a ) ￨±＞=λ± ￨±＞ λ±=h±g

( ) ( ) ( ) a g g a ￨±＞=λ± ￨±＞ λ±=a±g ￨s(t)＞=∑ncn e-iEnt/ℏ￨n＞ = c+e-i(a+g)t/ℏ￨+＞+c-e-i(a-g)t/ℏ￨-＞ ￨s(0)＞= c+￨+＞+c-￨-＞ da cui c+=＜+￨s(0)＞; c-=＜-￨s(0)＞; inserendo s(o), ￨+＞, ￨-＞ trovo: 1 1 c+= (+1 +1) ( 1 ) = √2 √2 1 1 ( c-= (+1 -1) 1 ) = √2 √2 1 ￨s(t)＞= √2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ￨s(t)＞= c+e-i(a+g)t/ℏ￨+＞+c-e-i(a-g)t/ℏ￨-＞ 1 1 (+1 +1) ( 1 ) = √2 √2 1 1 ( 1 ) c-= (+1 -1) = √2 √2 1 ( ) ( ) 1 +1 1 1 +1 -1 ￨s(t)＞= e-i(a+g)t/ℏ e-i(a-g)t/ℏ + √2 √2 √2 √2 1 ( e-igt/ℏ+eigt/ℏ ) ( cos(gt/ℏ) ) ￨s(t)＞= e-iat/ℏ = e-iat/ℏ 2 e-igt/ℏ-eigt/ℏ -isin(gt/ℏ) 1. (Griffiths, Esempio 3.8): FINE

2. (Griffiths, Problema 3.27) Un operatore  che rappresenta un’osservabile A ammette due autostati normalizzati, Ψ1 e Ψ2, corrispondenti agli autovalori a1 e a2. Un secondo operatore Ĉ, associato a un’altra osservabile C, ha due autovettori normalizzati f1 e f2, corrispondenti agli autovalori c1 e c2. Vale inoltre la seguente relazione: Ψ1=(3f1+4f2)/5; Ψ2=(4f1-3f2)/5. (a) Si misura l’osservabile A ottenendo il valore a1. Qual è lo stato del sistema immediatamente dopo questa misura? (b) Se successivamente si misura C quali sono i possibili risultati e quali le corrispondenti probabilità? (c) Subito dopo avere misurato C si misura ancora A. Qual è la probabilità di trovare a1?

Â￨Ψ1＞=a1￨Ψ1＞; Â￨Ψ2＞=a2￨Ψ2＞; Ĉ￨f1＞=b1￨f1＞; Ĉ￨f2＞=b2￨f2＞; ￨Ψ1＞=(3￨f1＞+4￨f2＞)/5; ￨Ψ2＞=(4￨f1＞-3￨f2＞)/5 Osservazione: ＜Ψ1￨Ψ1＞=(1/25)(9＜f1￨f1＞+12＜f1￨f2＞+12＜f2￨f1＞+16＜f2￨f2＞)=25/25=1 ＜Ψ2￨Ψ2＞=(1/25)(16＜f1￨f1＞-12＜f1￨f2＞-12＜f2￨f1＞+ +9＜f2￨f2＞)=25/25=1 1a. Se una misura di A fornisce l’autovalore a1, vuol dire che il sistema immediatamente dopo è nell’autostato corrispondente. Quindi, lo stato del sistema è ￨Ψ1＞. 1b. Se ora misuro C? Dai dati del problema so che lo stato ￨Ψ1＞ equivale a: (3￨f1＞+4￨f2＞)/5. Questo non è un autostato di Ĉ. La misura di C fornirà valore c1 con probabilità 9/25, valore c2 con probabilità 16/25.

Â￨Ψ1＞=a1￨Ψ1＞; Â￨Ψ2＞=a2￨Ψ2＞; Ĉ￨f1＞=b1￨f1＞; Ĉ￨f2＞=b2￨f2＞; 1c. Ora misuro di nuovo A. Dato che ho appena misurato C, il sistema si potrà trovare sia nello stato ￨f1＞ (P=9/25) sia in quello ￨f2＞ (P=16/25). Se si trova nello stato ￨f1＞, allora dalla (*): 5￨Ψ1＞=(3￨f1＞+4￨f2＞)→(5/3)￨Ψ1＞-(4/3)￨f2＞=￨f1＞ Ma dalla (**) so che (5/3)￨Ψ2＞-(4/3)￨f1＞=-￨f2＞ (5/3)￨Ψ2＞-(4/3) [(5/3)￨Ψ1＞-(4/3)￨f2＞]=-￨f2＞ (-25/9)￨f2＞= (5/3)￨Ψ2＞-(20/9) ￨Ψ1＞⇒ ￨f2＞=-(3/5) ￨Ψ2＞+(4/5)￨Ψ1＞ ￨f1＞= (5/3)￨Ψ1＞+(4/3)(3/5) ￨Ψ2＞-(4/3) (4/5)￨Ψ1＞=(3/5)￨Ψ1＞+(4/5)￨Ψ2＞

2. (Griffiths, Problema 3.27): FINE (P.S: Ovviamente si potevano ricavare ￨f1＞ e ￨f2＞ anche scrivendo in forma matriciale le relazioni che li legavano a ￨Ψ1＞ e ￨Ψ2＞ e invertendo la matrice) Ok, quindi se prima ho misurato c1 la probabilità di misurare a1 è 9/25, se prima ho misurato c2 è 16/25, quindi P(c1,a1)=81/625; P(c2,a1)=144/625. E’ immediato verificare che: P(c1,a2)=(16/25)x(16/25)=256/625, e P(c2,a2)=(16/25)x(9/25)=144/625. Quindi, P(c1,a1)+P(c2,a1)+P(c1,a2)+P(c2,a2)=(81+144+256+144)/625=1. 2. (Griffiths, Problema 3.27): FINE

( ) ( ) ( ) H= 3. (Griffiths, Problema 3.27) L’hamiltoniano di un sistema a tre livelli è rappresentato dalla matrice: ( ) con a,b,c∈R. Se il sistema si trova inizialmente in ￨S0＞= Qual è ￨S(t)＞? (b) Come in (a) ma per lo stato iniziale ￨S0＞= ( ) a 0 b 0 c 0 b 0 a 1 H= ( ) 1

( ) =H-λI det(H-λI)=0↔︎ (a-λ)2(c-λ)=b2(c-λ). Se λ≠c, (a-λ)=±b λ1=a-b; Autovettori ….

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ1=a-b⇒ =0 λ1=a-b⇒f1=(1/√2) λ2=a+b⇒ =0 b 0 b 0 c-a+b 0 x y z =0 ( ) -1 +1 bx+bz=0-> x=-z cy-ay+by=0-> y=0 λ1=a-b⇒f1=(1/√2) λ2=a+b⇒ ( ) ( ) -b 0 b 0 c-a-b 0 b 0 -b x y z =0 ( ) +1 -bx+bz=0-> x=z cy-ay-by=0-> y=0 λ2=a+b⇒f2=(1/√2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ1=a-b⇒f1=(1/√2) λ2=a+b⇒f2=(1/√2) λ3=c⇒ =0 -1 +1 +1 λ1=a-b⇒f1=(1/√2) λ2=a+b⇒f2=(1/√2) λ3=c⇒ ( ) ( ) a-c 0 b 0 0 0 b 0 a-c x y z =0 x(a-c)=bz->x=bz/(a-c) che inserita in bx+az-cz=0 fornisce b2z/(a-c) +az-cz=0⇒z=0; e dalla 1 x=0 ( ) 1 λ3=c⇒f3= -iλ1t/ℏ -iλ2t/ℏ -iλ3t/ℏ ￨S(t)＞=c1e f1+c2e f2+c3e f3; ci=＜fi￨S(0)＞

( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ￨S(t)＞=c1e f1+c2e f2+c3e f3; ci=＜fi￨S(0)＞ -iλ1t/ℏ -iλ2t/ℏ -iλ3t/ℏ ￨S(t)＞=c1e f1+c2e f2+c3e f3; ci=＜fi￨S(0)＞ Se il sistema si trova inizialmente in ￨S0＞= ( ( ) ) 1 1 ( ) c1=(1/√2)(-1 0 1) 1 =0 ( ) c2=(1/√2)(1 0 -1) 1 =0 ( ) c3=(0 0 1) 1 =1 -ic3t/ℏ ￨S(t)＞=e f3 Risultato ovvio, potevo non fare nemmeno un conto. Il sistema è preparato in un autostato e pertanto rimane nell’autostato.

( ) ( ) ( ) ( ) ￨S(t)＞=c1e f1+c2e f2+c3e f3; ci=＜fi￨S(0)＞ -iλ1t/ℏ -iλ2t/ℏ -iλ3t/ℏ ￨S(t)＞=c1e f1+c2e f2+c3e f3; ci=＜fi￨S(0)＞ Se il sistema si trova inizialmente in ￨S0＞= ( ) 1 ( ) c1=(1/√2)(-1 0 1) 1 =(1/√2) ( ) c2=(1/√2)(1 0 1) 1 =(1/√2) ( ) c3=(0 1 0) 1 =0 -i(a-b)t/ℏ -i(a+b)t/ℏ ￨S(t)＞=(1/2)e f1+(1/2)e f2

( ) ( ) ( ) ( ) ￨S(t)＞=(1/2)e f1+(1/2)e f2 ￨S(t)＞=e (1/2)[e f1+e f2] -i(a-b)t/ℏ -i(a+b)t/ℏ ￨S(t)＞=(1/2)e f1+(1/2)e f2 -iat/ℏ +ibt/ℏ -ibt/ℏ ￨S(t)＞=e (1/2)[e f1+e f2] ( -1 +1 ) ( +1 ) -iat/ℏ +ibt/ℏ -ibt/ℏ ￨S(t)＞=e (1/2)[e +e ] ( ) +ibt/ℏ -ibt/ℏ ( ) -e + e -isin(bt/ℏ) -iat/ℏ -iat/ℏ ￨S(t)＞= (1/2)e =e +ibt/ℏ -ibt/ℏ +e + e cos(bt/ℏ) 3. (Griffiths, Problema 3.27): FINE

( ) ( ) ( ) ( ) H=ℏω A=α B=β λ,μ>0 4. (Griffiths, Problema 3.38): L’hamiltoniano di un sistema a tre livelli e due ulteriori osservabili A e B del sistema sono rappresentati dalle matrici: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 0 1 0 H=ℏω A=α B=β λ,μ>0 Trovare autovalori e autovettori normalizzati di H, A, B Trovare i valori di aspettazione di H, A, B a t=0 sapendo che lo stato del sistema a t=0 è dato da￨S0＞= Trovare ￨S(t)＞ Se si misura l’energia al tempo t, quali valori si possono ottenere? Con quale probabilità? E per A e per B? Discutere i risultati ( c1 c2 c3 )

( ) ( ) ( ) ( ) H=ℏω A=α B=β λ,μ>0 4. (Griffiths, Problema 3.38): L’hamiltoniano di un sistema a tre livelli e due ulteriori osservabili A e B del sistema sono rappresentati dalle matrici: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 0 1 0 H=ℏω A=α B=β λ,μ>0 Trovare autovalori e autovettori normalizzati di H, A, B Trovare i valori di aspettazione di H, A, B a t=0 sapendo che lo stato del sistema a t=0 è dato da￨S0＞= Trovare ￨S(t)＞ Se si misura l’energia al tempo t, quali valori si possono ottenere? Con quale probabilità? E per A e per B? Discutere i risultati ( c1 c2 c3 )

( ) ( ) ( ) H=ℏω A=α B=β λ,μ>0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 0 1 0 H=ℏω A=α B=β λ,μ>0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A-λI= λ=2α =0 (1/√2) λ=-α =0 (1/√2) -λ α 0 α -λ 0 0 0 2α-λ A-λI= ( ) 1 λ=2α ( +α α 0 α α 0 0 0 3α ) ( ) x y z αx+αy=0 z=0 ( ) =0 -1 +1 +0 (1/√2) λ=-α ( -α α 0 α -α 0 0 0 α ) ( ) ( ) -αx+αy=0 αx-αy=0 z=0 x y z +1 +0 =0 (1/√2) λ=α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B-λI= 2β-λ 0 0 0 -λ β 0 β -λ B-λI= det(B-λI)=0⇔λ2(2β-λ)=β2(2β-λ);λ=2β;λ=β; λ=-β ( ) 0 0 0 0 -2β β 0 β -2β ( ) ( ) x y z 0=0 -2βy-βz=0 βy-2βz=0 +1 +0 =0 λ=2β ( β 0 0 0 -β β 0 β -β ) ( ) ( ) x y z x=0 -βy+βz=0 βy-βz=0 +0 +1 λ=β =0 (1/√2) ( 3β 0 0 0 β β 0 β β ) ( ) ( ) x y z x=0 βy+βz=0 +0 -1 +1 (1/√2) =0 λ=-β

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H=ℏω A=α B=β 2. ￨S0＞= c1 c2 c3 ) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 0 1 0 2. ￨S0＞= H=ℏω A=α B=β ( c1 2c2 2c3 ) ＜S0￨H￨S0＞=ℏω(￨c1￨2+2￨c2￨2+2￨c3￨2); 1=￨c1￨2+￨c2￨2+￨c3￨2 H￨S0＞=ℏω ( c2 c1 2c3 ) ＜S0￨A￨S0＞=α(c1*c2+c2*c1+2￨c3￨2); 1=￨c1￨2+￨c2￨2+￨c3￨2 A￨S0＞=α ( 2c1 c3 c2 ) ＜S0￨B￨S0＞=β(2￨c1￨2+c2*c3+c3*c2); 1=￨c1￨2+￨c2￨2+￨c3￨2 B￨S0＞=β Oss: Se z=x+iy, allora z+z*=2x∈R, ＜S0￨A￨S0＞ e ＜S0￨B￨S0＞∈R

( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 3. ￨St＞=s1e +s2e +s3e 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) -iwt -2iwt -2iwt 3. ￨St＞=s1e +s2e +s3e 3. ￨St＞=s1e +s2e +s3e ( 1 ) s1=(c1 c2 c3) =c1; s2=c2; s3=c3 ( ( 1 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) -iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e +c2e +c3e 1=￨c1￨2+￨c2￨2+￨c3￨2

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. ￨St＞=c1e +c2e +c3e 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) -iwt -2iwt -2iwt 4. ￨St＞=c1e +c2e +c3e Misuro E=ℏω con probabilità ￨c1￨2 Misuro E=2ℏω con probabilità 1- ￨c1￨2 Una misura di A deve fornire uno sei suoi autovalori. Ricordiamo che gli autovettori di A sono: ( ) ( ) 1 ( ) -1 +1 +0 +1 +0 λ=2α (1/√2) λ=-α (1/√2) λ=α ( 1 ) ( -1 +1 +0 ) ( +1 +0 ) ￨St＞ =s1(t) +(s2(t)/√2) +(s3(t)/√2)

( ) ( ) ( ) A ( ( ) ) ( ) ( ) H ￨St＞ =s1(t) +(s2(t)/√2) +(s3(t)/√2) 1 ) ( -1 +1 +0 ) ( +1 +0 ) ￨St＞ =s1(t) +(s2(t)/√2) +(s3(t)/√2) A ￨St＞ =s1(t) ￨a1＞ + s2(t) ￨a2＞ + s3(t) ￨a3＞ ( ( 1 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) -iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e +c2e +c3e H -iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e ￨e1＞+c2e ￨e2＞+c3e ￨e3＞ gli si(t) sono le incognite, i ci sono dati. So che si(t)=＜ai￨St＞ uso l’espressione di St in termini di autofunzioni di H -2iwt s1(t)=(001)⋅￨St＞=c3e -iwt -2iwt √2s2(t)=(-110)⋅￨St＞=-c1e +c2e -iwt -2iwt √2s3(t)=(110)⋅￨St＞= +c1e +c2e

P(a=a2)=(1/2)|(c2e -c1e )|2=(1/2)|e (c2e -c1)|2 -2iwt -2iwt -2iwt -iwt ￨St＞=c3e ￨a1＞ +(1/√2)(c2e -c1e ) ￨a2＞ +(1/√2)(c2e -c1e ) ￨a3＞ P(a=a1)=￨c3￨2 -2iwt -iwt -iwt -iwt P(a=a2)=(1/2)|(c2e -c1e )|2=(1/2)|e (c2e -c1)|2 * -iwt +iwt -iwt +iwt P(a=a2)=(1/2)(c2e - c1)(c2e - c1*)=(1/2)(|c2|2+|c1|2-c2c1*e -c1c2*e ) -iwt * +iwt -iwt +iwt P(a=a3)=(1/2)(c2e + c1)(c2e + c1*)=(1/2)(|c2|2+|c1|2+c2c1*e +c1c2*e ) -iwt * +iwt -iwt P(a=a3)=(1/2)(c2e + c1)(c2e + c1*)=(1/2)(|c2|2+|c1|2+2Re(c2c1*e ))

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) λ=2β λ=β λ=-β 4. ￨St＞=c1e +c2e +c3e 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) -iwt -2iwt -2iwt 4. ￨St＞=c1e +c2e +c3e Una misura di B deve fornire uno sei suoi autovalori. Ricordiamo che gli autovettori di B sono: ( ) ( ) ( ) +1 +0 +0 +1 +0 -1 +1 λ=2β (1/√2) λ=β (1/√2) λ=-β ￨b1＞ ￨b2＞ ￨b3＞ ￨St＞ =s1(t) ￨b1＞ + s2(t) ￨b2＞ + s3(t) ￨b3＞ -iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e ￨e1＞+c2e ￨e2＞+c3e ￨e3＞

￨St＞=c1e ￨e1＞+c2e ￨e2＞+c3e ￨e3＞ -iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e ￨e1＞+c2e ￨e2＞+c3e ￨e3＞ -iwt s1(t)=(100)⋅￨St＞=c1e -2iwt -2iwt √2s2(t)=(011)⋅￨St＞=c2e +c3e -2iwt -2iwt √2s3(t)=(0-11)⋅￨St＞= -c2e +c3e -iwt -2iwt -2iwt -2iwt -2iwt ￨St＞=c1e ￨b1＞ +(1/√2)(c2e +c3e ) ￨a2＞ +(1/√2)(-c2e +c3e ) ￨a3＞ P(b=b1)=￨c1￨2 P(b=b2)=(1/2)|c2+c3|2=(1/2)(|c2|2+|c3|2+c2c3*+c2*c3) P(b=b2)=(1/2)|-c2+c3|2=(1/2)(|c2|2+|c3|2-c2c3*-c2*c3) Normalizzazione ok!

Quindi la probabilità di trovare B in un qualunque autostato è indipendente dal tempo. B è una costante del moto, tanto quanto H. Ma allora deve valere [B,H]=0! (è vero, controllare!) B ed H devono ammettere un sonc comune. Questo è vero? ( ) ( ) ( ) +1 +0 +0 +1 +0 -1 +1 B; corrispondono a tre autovalori distinti (1/√2) (1/√2) ( ) ( ) ( ) H; il secondo e il terzo corrispondono allo stesso autovalore. +1 +0 +0 +1 +0 +1 Qualunque combinazione lineare di ￨e2＞ e ￨e3＞ è ancora un autovettore di H con lo stesso autovalore. Basta prendere (1/√2)(￨e2＞±￨e3＞) e ottengo esattamente gli autovettori di B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A; corrispondono a tre (1/√2) (1/√2) +0 +1 +0 -1 +1 +0 +1 A; corrispondono a tre autovalori distinti (1/√2) (1/√2) ( ) ( ) ( ) H; il secondo e il terzo corrispondono allo stesso autovalore. +1 +0 +0 +1 +0 +1 Qualunque combinazione lineare di ￨e2＞ e ￨e3＞ è ancora un autovettore di H con lo stesso autovalore. Ma non riuscirò mai a generare gli autovettori di A. Infatti, controllare, [A,H]≠0 e i coefficienti dello sviluppo sono dipendenti dal tempo. 4. (Griffiths, Problema 3.38): FINE