04/09/2018 Il concetto di limite 1 1

Chiaramente in xo=3 non esiste ma..che 04/09/2018 Consideriamo una funzione, non definita in xo=3 Chiaramente in xo=3 non esiste ma..che valori assume la funzione se prendo il valore della variabile x “vicino” a 3 ( per vicino intendo in un intorno circolare di xo=3 di raggio piccolo)? 2 2 2

04/09/2018 Lo possiamo verificare anche calcolando i valori della funzione: per x tendente a xo=3 la funzione tende al valore y=3, sia da valori maggiori di 3 ( da destra) che da valori minori ( da sinistra) xo=3 x=2,0 x=3,05 3 3

X0 =3, la si rende con la scrittura: 04/09/2018 Questa “tendenza” della funzione f(x) al valore 1 quando la variabile indipendente si avvicina al valore X0 =3, la si rende con la scrittura: Si legge : il limite della funzione f(x), per x che tende a x0 =3, è 1 5 5

04/09/2018 f: In matematica , il concetto di limite serve a descrivere il comportamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore che può essere finito o infinito La scrittura Significa che la funzione f(x) tende al valore l “man mano” x si avvicina al valore xo Ciò è interessante proprio se la funzione non è definita in xo perchè se il valore in xo non lo possiamo calcolare, ma il limite ci informa sulla “tendenza” della funzione in un intorno di xo. = l 9 9

la funzione “tende” a l “mano a mano” che la x si “avvicina” a x0 ? 04/09/2018 Ma come si può rendere in linguaggio matematico e quindi preciso la frase la funzione “tende” a l “mano a mano” che la x si “avvicina” a x0 ? 10 10

Quindi comunque io scelga un intorno “piccolo a piacere” di l, in 04/09/2018 Quindi comunque io scelga un intorno “piccolo a piacere” di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l -----------VEDI PAG 53 12 12

Definizione rigorosa di limite 04/09/2018 Definizione rigorosa di limite Scelto un intorno circolare di l di raggio epsilon, con epsilon piccolo a piacere, esiste un intorno di xo di raggio delta, con delta dipendente da epsilon, tale che per un qualsiasi valore di x appartenente a questo intervallo, la distanza fra l e i valori della funzione calcolati per x appartenente quell'intervallo è minore di l A volte ci si avvicina ad x0 solo per valori minori di x0 (da sinistra) o solo per valori maggiori di x0 16 16

In questi casi si parla di limite sinistro o limite destro: oppure 04/09/2018 In questi casi si parla di limite sinistro o limite destro: oppure Le definizioni diventano rispettivamente 17 17

In questo caso si calcola un limite sinistro 04/09/2018 A volte si studia il comportamento della funzione avvicinandoci a x0 solo da sinistra In questo caso si calcola un limite sinistro x0 18 18

Limiti finiti e infiniti 04/09/2018 Limiti finiti e infiniti 20 20

Limite infinito per x che tende ad un valore finito 04/09/2018 Limite infinito per x che tende ad un valore finito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R e sia x0 un punto di accumulazione per A. Dire che Grafico 5 21 21

04/09/2018 Mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a +∞ , cioè significa dire che comunque io scelga un “intorno di +∞”, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di +∞ O meglio che comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”, in corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a 22 22

Oppure Possiamo avere anche 04/09/2018 tale intorno la corrispondente f(x) è maggiore di K Oppure (1) Possiamo avere anche Grafico 6 23 23

04/09/2018 In questo caso diremo che mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a -∞ Significa dire che comunque io scelga un “intorno di -∞”, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di -∞ O meglio che 24 24

04/09/2018 comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”, in corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno f(x) è minore di -K Cioè (2) Le definizioni (1) e (2) possono essere riunite in un’unica espressione 25 25

Le definizioni diventano 04/09/2018 Anche in questo caso possiamo avere limiti destri o limiti sinistri cioè o Oppure Le definizioni diventano 26 26

Limite finto per x che tende ad un valore infinito 04/09/2018 Limite finto per x che tende ad un valore infinito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato superiormente. Dire che Significa dire che al tendere di x a +∞ f(x) tende a l Vediamolo graficamente 27 27

04/09/2018 Grafico 7 28 28

04/09/2018 Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l O meglio Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato inferiormente. Dire che 29 29

Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x) tende a l 04/09/2018 Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x) tende a l Vediamolo graficamente Grafico 8 30 30

04/09/2018 Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di -∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l O meglio 31 31

Significa dire che al tendere di x a +∞ anche f(x) tende a +∞. 04/09/2018 Limite infinito per x che tende ad un valore infinito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato superiormente. Dire che Significa dire che al tendere di x a +∞ anche f(x) tende a +∞. Vediamolo graficamente 32 32

04/09/2018 Grafico 9 33 33

04/09/2018 Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di +∞, in corrispondenza di tale intorno esiste un secondo intorno di +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nel primo intorno di +∞ , o meglio Oppure 34 34

04/09/2018 Analogamente, se f è una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato inferiormente o semplicemente illimitato possiamo avere oppure Oppure Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x) tende a +∞ o viceversa oppure che al tendere di x a -∞ anche f(x) tende a -∞. . 35 35

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04/09/2018 Si può dire che, comunque io scelga un intorno di +∞ o - ∞, in corrispondenza di tale intorno esiste un secondo intorno di - ∞ o +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nel primo intorno di +∞ o - ∞, o meglio Oppure 38 38

04/09/2018 Le definizioni di limite possono essere sintetizzate in unica definizione in ( R ampliato) . Per si intende . Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con e sia x0 un punto di accumulazione per A . Se Allora vuol dire che 39 39

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Limite infinito per x che tende ad un valore finito 04/09/2018 Limite infinito per x che tende ad un valore finito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R e sia x0 un punto di accumulazione per A. Dire che Grafico 5 41 41

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