Ripasso… Elementi di logica Pinuccia Carena

Introduzione alla logica = lo studio del corretto argomentare, ossia lo studio che permette di decidere o meno della correttezza dei ragionamenti

Introduzione alla logica La logica matematica si occupa della correttezza del ragionamento usato dai matematici. La matematica, al contrario delle scienze fisiche, chimiche o biologiche che (almeno tradizionalmente) fondano il loro metodo sull’osservazione, procede per dimostrazioni. Non tutte le leggi della matematica sono dimostrabili: le prime leggi accettate come sicure non possono essere dimostrate sulla base di altre e si chiamano assiomi; si chiamano teoremi, invece le leggi dimostrate a partire dagli assiomi o da altre leggi (altri teoremi) a loro volta già dimostrate. E’ questa l’essenza del metodo ipotetico-deduttivo utilizzato dalla matematica.

Logica delle proposizioni

Logica delle proposizioni = stabilisce la correttezza delle conclusioni di un ragionamento a partire da come si possono comporre le espressioni del linguaggio formale

Logica delle proposizioni Alfabeto: un insieme non vuoto e finito di caratteri. Stringa: un allineamento finito di caratteri (inclusi gli spazi bianchi). Linguaggio: quel sottoinsieme dell’insieme delle stringhe, costruibile a partire da un dato alfabeto, formato da tutte e sole le stringhe aventi significato. Grammatica di un linguaggio: l’insieme di un alfabeto e delle regole per costruire frasi ben formate, ovvero stringhe aventi senso compiuto. Proposizione (o affermazione o enunciato): una stringa ben formata, avente cioè significato e per la quale si possa dire se è vera o falsa.

Logica delle proposizioni La logica matematica si occupa prevalentemente di proposizioni per le quali sia già stabilito se sono vere o false.

Logica delle proposizioni Il valore di verità viene assegnato a una proposizione per mezzo di una funzione v che si applica all’insieme delle proposizioni P e vale 0 e1. La funzione v associa alla proposizione P valore 0 se P è falsa, valore 1 se P è vera:

Logica delle proposizioni L’assegnazione dei valori della funzione v è fondata sui seguenti tre principi della logica: principio di identità: ogni proposizione è identica a sé stessa; principio del terzo escluso: una proposizione può essere solo vera o falsa (tertium non datur); principio di non contraddizione: una proposizione vera non può essere contemporaneamente falsa.

Logica delle proposizioni Due proposizioni A e B sono equiveridiche quando la funzione v associa a ciascuna di esse il medesimo valore di verità. Quindi, due proposizioni sono equiveridiche quando sono entrambe vere, cioè quando A è vera solo se è vera B e B è vera solo se è vera A, oppure entrambe false. Nell’insieme delle proposizioni sono definite delle operazioni interne. Si dice connettivo logico un simbolo logico che o modifica una proposizione oppure collega (connette) due o più proposizioni. Un connettivo che opera su una sola proposizione modificandola si dice unario, mentre connettivi binari sono quelli che operano su due proposizioni connettendole.

Connettivo unario di negazione

Connettivo unario di negazione Il simbolo usato per indicare il connettivo di negazione è  ( A si legge “non A”). La negazione logica, espressa nel linguaggio naturale dall’avverbio di negazione non, viene usualmente indicata oltre che con il simbolo logico  anche con i simboli NON del latino e NOT del linguaggio informatico. Data una proposizione semplice A, la proposizione  A è vera solo quando A è falsa e viceversa.

Connettivo unario di negazione Il modo di operare di un connettivo viene visualizzato mediante una tavola, detta tabella di verità; quella che segue è la tabella di verità del connettivo unario di negazione.

Connettivo unario di negazione La negazione è un’operazione logica a carattere involutorio: A =  (  A ).

Principali connettivi binari

Principali connettivi binari Sono la congiunzione logica, la disgiunzione inclusiva, la disgiunzione esclusiva. Le loro tabelle di verità devono avere tre colonne: la prima contiene i valori di verità assunti da A, la seconda i valori di verità assunti da B, la terza i valori assunti dalla proposizione connessa, ottenuta collegando le proposizioni A e B, mediante il connettivo in esame. La tabella conterrà quattro righe, poiché si devono analizzare tutte le possibili combinazioni tra i valori di verità delle proposizioni A e B. Nelle tabelle che seguono le prime due colonne avranno sempre la seguente forma:

Congiunzione logica

Congiunzione logica La congiunzione logica, espressa nel linguaggio naturale mediante la congiunzione con valore coordinativo e, viene usualmente indicata con i seguenti simboli: ET, dal latino; AND dal linguaggio informatico;  simbolo logico. La proposizione A  B , che viene detta connessa, è vera solo quando A e B sono contemporaneamente vere. In tutti gli altri casi, la proposizione A  B è falsa. La tabella di verità della congiunzione logica è la seguente:

Congiunzione logica La congiunzione logica è un’operazione binaria associativa e commutativa. Infatti sono soddisfatte le seguenti proprietà: proprietà associativa: (A  B)  C = A  (B  C) proprietà commutativa: A  B = B  A

Disgiunzione inclusiva

Disgiunzione inclusiva La disgiunzione inclusiva, espressa nel linguaggio naturale mediante la congiunzione con valore disgiuntivo o, viene usualmente indicata con i seguenti simboli: VEL dal latino; OR dal linguaggio informatico;  simbolo logico. La proposizione connessa A  B è vera quando almeno una delle due proposizioni che la compongono è vera, mentre è falsa quando A e B sono entrambe false. La tabella di verità della disgiunzione inclusiva è la seguente:

Disgiunzione inclusiva La disgiunzione inclusiva è un’operazione binaria associativa e commutativa. Infatti sono soddisfatte le seguenti proprietà: proprietà associativa: (A  B)  C = A  (B  C) proprietà commutativa: A  B = B  A

Implicazione materiale

Implicazione materiale Il simbolo con cui viene rappresentata è  e nel linguaggio comune si può rendere con la locuzione “Se... allora...”. La proposizione connessa A  B può essere letta in uno dei modi logicamente equivalenti: “A implica B”, “Da A discende B”, “A è condizione sufficiente per B”... La tabella di verità dell’implicazione materiale è la seguente. Dunque la proposizione composta “Se A allora B” è falsa solo nel caso in cui A è vera e B è falsa. Per l’implicazione non vale la proprietà commutativa.

Implicazione bicondizionale

Implicazione bicondizionale L’implicazione bicondizionale è rappresentata con il simbolo  e si può rendere in linguaggio naturale con la locuzione “Se e solo se ... allora...”. La proposizione connessa A  B può essere letta in uno dei seguenti modi logicamente equivalenti: “A coimplica B”, “A è condizione necessaria e sufficiente per B”, “Da A discende B e viceversa”, ... La tabella di verità dell’implicazione bicondizionale, che viene anche denominata coimplicazione o doppia implicazione o equivalenza logica, è la seguente.

Implicazione bicondizionale In altri termini, l’implicazione bicondizionale permette di costruire una proposizione connessa che è vera quando A e B hanno lo stesso valore di verità. La doppia implicazione A  B si può ottenere congiungendo le due proposizioni A  B e B  A e lo si può verificare usando la seguente tabella di verità:

Implicazione bicondizionale Poiché le proposizioni considerate nelle due ultime colonne assumono lo stesso valore di verità in corrispondenza dei medesimi valori di verità di A e B, possiamo concludere che le proposizioni (A  B) (B  A) e A  B sono equiveridiche. La doppia implicazione è un’operazione binaria riflessiva, simmetrica e transitiva.

L’insieme dei connettivi

L’insieme dei connettivi La base dei connettivi può però essere ridotta alla seguente:   ,  ,  . Con l’uso delle tabelle di verità si può infatti dimostrare che: A  B è equiveridica alla proposizione  A  B ; A  B è equiveridica alla proposizione (A  B)  ( A   B).

L’insieme dei connettivi Dall’uguaglianza delle due ultime colonne discende l’equiveridicità delle proposizioni.

L’insieme dei connettivi Date le due proposizioni A e B costruiamo una tabella che contenga tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni connesse costruibili a partire da A e da B. Nelle colonne 2, 8, 5, 7 si riconoscono le tabelle di verità rispettivamente dei connettivi  ,  ,  ,  .

L’insieme dei connettivi COLONNA 1. In colonna 1 sono riportati i valori di verità di una proposizione che è sempre vera, indipendentemente dai valori di verità di A e B. Una proposizione di questo genere si chiama tautologia.

L’insieme dei connettivi COLONNA 16. In colonna 16 sono riportati i valori di verità di una proposizione che è sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità di A e B. Una tale proposizione si chiama impossibilità, o contraddizione.

Algebra di Boole delle proposizioni logiche

Algebra di Boole delle proposizioni logiche Per l’insieme delle proposizioni valgono una serie di proprietà che permettono di dire che l’insieme delle proposizioni è un’algebra di Boole. Indicando con A, B, C le proposizioni, T la tautologia, I l’impossibilità, tali proprietà sono le seguenti.

Algebra di Boole delle proposizioni logiche

Algebra di Boole delle proposizioni logiche

Quantificatori

Quantificatori Costrutti del tipo <per ogni> <per tutti i> <esiste un> <esiste uno solo> sono detti quantificatori, che nella logica antica caratterizzavano tipi diversi di proposizioni. Sono usualmente scritti come  che significa <per ogni> <per tutti i>  che significa <esiste un>  ! che significa <esiste uno solo> e sono seguiti da una variabile. In questo modo la frase (vera nell’interpretazione standard) <esiste un numero pari> diventa la formula x pari(x), la frase (falsa)<ogni numero è maggiore di 4> diventa la formula x x >4 e la frase (vera) <esiste un solo valore che è il doppio di 2> diventa la formula ! x doppio(2) o meglio !x x=2*2