Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 2: serie e trasformate di Fourier

Formule di prostaferesi Le formule di prostaferesi esprimono il valore di seno e coseno di somme di angoli in prodotti di seni e coseni dei singoli angoli, e viceversa:

Funzione periodica di periodo T Sia per tutto il seguito T=1/f Data la funzione: con n intero relativo, si dimostra che e’ periodica di periodo T: l’ultima uguaglianza in quanto, per ogni angolo θ si ha:

Integrali utili

Dimostrazioni Integrale (1): Integrale (2) per n = 0: per n ≠ 0:

Dimostrazioni (cont.) Integrale (3): Applicando i risultati degli integrali (1) e (2) si ha la dimostrazione. L’integrale (4) si dimostra in modo analogo, applicando le formule di prostaferesi e poi i risultati degli integrali (1) e (2)

Altri integrali utili

Dimostrazioni Integrale (5): Poiche’ l’integrale (2) vale 0 per ogni n, l’integrale (5) vale 0. Gli integrali (6) e (7) si dimostrano in modo analogo, applicando le formule di prostaferesi ed i risultati degli intergali (1)-(4), ricordando che per (n-k)=0 l’integrale del coseno non e’ nullo!

Serie di Fourier Data una qualsiasi funzione periodica di periodo T continua con derivata continua a tratti e limitata, e’ possibile scriverla come somma di seni e coseni: dove f = 1/T e’ la frequenza della funzione I coefficienti dello sviluppo sono dati dalle relazioni:

Dimostrazione dei coefficienti di Fourier Coefficiente a0: per gli integrali (1) e (2) – in questo caso n≠0! - tutti i termini delle due sommatorie sono nulli, quindi:

Dimostrazione dei coefficienti di Fourier Coefficiente ak (per i coefficienti bk la dimostrazione e’ analoga): il primo addendo vale zero (per l’integrale (1)), ed il terzo anche (per l’integrale (5), per tutti gli n), quindi per l’integrale (6) sono nulli i termini della somma con n ≠ k, quindi

Esempio Vediamo lo sviluppo in serie di Fourier della funzione Il calcolo dei coefficienti e’:

Esempio Il secondo addendo e nullo (integrale (5)), mentre il terzo e’ nullo per n≠1, quindi Il primo addendo e’ sempre nullo, il secondo e’ nullo per n≠1, quindi

Esempio Si ha quindi lo sviluppo: Si puo’ osservare che lo sviluppo in serie di Fourier della funzione di esempio coincida in questo caso con la formula di prostaferesi (non poteva essere altrimenti!)

Note sulla formula di Eulero La formula di Eulero definisce la funzione esponenziale ad esponente immaginario: Da questa formula si deducono le relazioni:

Sviluppo di Fourier in forma complessa definiamo:

Sviluppo di Fourier in forma complessa possiamo quindi scrivere: poiche’ possiamo scrivere (sostituendo –n ad n nel terzo addendo): si ha:

Sviluppo di Fourier in forma complessa definendo infine: abbiamo l’espressione finale:

Relazione tra i coefficienti In base alle definizioni si ha: da cui le relazioni inverse: e’ semplice infine dimostrare che per ogni n:

Esempio: onda quadra Eseguiamo lo sviluppo in forma complessa della funzione onda quadra periodica di periodo T: I coefficienti dello sviluppo sono dati da

Esempio: onda quadra per n=0 si ha: per n≠0 si ha:

Esempio: onda quadra essendo (ricordiamo che T=1/f): si ha: quindi:

Esempio: onda quadra esprimendo il risultato in termini di a e b: possiamo quindi scrivere lo sviluppo dell’onda quadra come: